《应用微积分》3.3高阶导数详解.ppt

科学出版社 http://www. * 主讲教师： 第 3 章 导数与微分 导数概念 求导法则 高阶导数 函数的微分 高阶导数的概念 1 2 高阶导数的运算法则 可继续求导， -----二阶导数 若 在 处可导，把 在 处的导数 的二阶导数? 或 即 相应地? 把 叫作函数 的一阶导数, 类似地? 二阶导数的导数叫做三阶导数? 一般地? (n?1)阶导数的导数叫做n 阶导数? 分别记作 或 ? ??? 或 称为函数 记作 定义3.1 1) 二阶导数的定义式： 2) 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。 3) 函数 具有n 阶导数? 也常说成 为n 阶可导。 处具有n 阶导数? 那么函数 4) 如函数 在点 在点 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶 的导数。 求高阶导数就是多次连续地求导数，仍可应用前面 学过的求导方法来计算高阶导数。 直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 高阶导数求法 解 求 例1 求幂函数 的n 阶导数 . ， 一般地： 即 【特别】当 ，即 解 例2 ① ，则 ② 一般 则 特别注意的是 ① ，求 ② ，求 n阶导数。 求函数 的 ， 一般地有： ① 求 ， ② ，求 【特别】 解 例3 求 的n 阶导数? ， ? … 一般地有： 即 用类似方法可得： 解 例4 更一般地： ① 求 ② 求 求函数 的n 阶导数 首先将函数写成幂函数形式，即 ，…， 一般地有： 解 例5 ① ，求 ， ② ，求 。 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数。 更一般地： 类似可求出： 熟记下列公式, 今后可以利用这些公式间接地 求一些函数的高阶导数。 (1) (2) (3) (4) (5) ，特别： 若函数 及 都在点x 处具有n 阶导数? 也在点x 处具有n 阶导数? 且 (1) (2) 则函数 利用已知的高阶导数公式, 通过求导法则,变量代换等 方法, 求出n阶导数。 间接法求导法: 已知 ，求 求下列函数的n 阶导数 ① ② 解 例6 设 ， 求 两边求导： 整理得 再求导： 解 例7 已知 求 在点 的值。 两边求导： 代入 得： 两边再求导： 代入 ， ， ，得： ① 设 ，求 ② ，求 解 例8 设参数方程 ，求 ， 解 例9 求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数： ① 摆线 ② 如果 的导函数 在区间Ｉ上连续，则称 连续可导， 不难理解，连续可导必可导，但是未必二阶可导。 有界 收敛 连续 可导 连续可导 二阶可导 回忆有界、收敛、连续、可导、连续可导以及 高阶导数的概 念，诸概念之间的关系逐渐增强， 可图示为 (1) 逐阶求导法 (2) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 高阶导数的求法 ，特别： 1. 已知 , 求 2. 求下列函数的n 阶导数。 解 解 备 用 题