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Function of Complex Variable and Integral Transform 复变函数与积分变换 姜偕富 杭州电子科技大学 自动化学院 第二教学科研楼 南楼 218 Tel:Email: jiangxf@hdu.edu.cn 本课程的主要内容 * * 工程数学 课程简介 一、复变函数的地位 二、复变函数与积分变换的发展历史 三、复变函数与积分变换的应用 工程数学 复变函数与积分变换 四、教材与主要参考书 五、课程内容 六、教学与考核方式 一、复变函数的地位 工程数学 美国著名数学史家 M. Kline在其著作(《古今数学思想》(MathematicalThought from Ancient to Modern Times）中指出： 从技术观点来看，19世纪最独特的创造是单复变函数理论。 象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 这一丰饶的数学分支，一直被称为这个世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学中最和谐的理论。 复变函数与积分变换 卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它们与 负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。 两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数． 卡尔丹发现只要把 10 分成 和 即可。 1545 年，卡尔丹（Girolamo Cardano）第一个认真地讨论了虚数，他在其著作《大术（大法）》中求解这样的问题： 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的 学生哈里奥特的责难。 工程数学 复变函数与积分变换 二、复变函数与积分变换的发展历史 整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量” 。仅有 极少数的数学家对其存在性问题争论不休。 意义下的“复数”的名称。 1632 年，笛卡尔在《几何学》中首先把这种“虚构的量” 改称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，还给出了如今 工程数学 复变函数与积分变换 英国数学家沃利斯（J. Wallis, 1616-1703）第一个将复数 a+bi 利用笛卡尔坐标平面上的点 a+bi 来表示，其后又有很多人独立完善了沃利斯的表示方法。 二、复变函数与积分变换的发展历史 到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。 1722 年，法国的德摩佛(De Moivre)给出德摩佛定理： 其中 n 是大于零的整数。 1748 年，欧拉给出了著名的欧拉公式： 并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。 1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文《微分公式》 中首次使用 i 来表示 工程数学 复变函数与积分变换 二、复变函数与积分变换的发展历史 十八世纪末，高斯使得复数的地位被确立下来。 1797 年，当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证明了 代数基本定理， 高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们 更加直观地理解了复数的真实意义。 而且 n 次多项式恰好有 n 个根。 任何多项式在复数域里必有根， 即 工程数学 复变函数与积分变换 高斯和哈密顿（W.R. Hamilton, 1805-1865）分别在1831和1837年定义复数 a+bi 为一对实数 (a, b)。因此，复数可以用一对实数来处理算术运算，复数理论转变为一对实数的理论。 二、复变函数与积分变换的发展历史 十九世纪，复变函数论开始形成，并逐渐发展成一个庞大的数学分支。柯西、维尔斯特拉斯和黎曼在奠定了复变函数理论基础。柯西和维尔斯特拉斯应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究了复变函数的映射(几何)性质。 工程数学 复变函数与积分变换 十八世纪，达朗贝尔和欧拉等人逐步阐明了复数的几何意义，澄清了复数概念，并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的问题。此后人们才逐渐接受了复数，复变函数论才能顺利的建立和发展。 柯西将一个复变函数 f(z) 视为复数 z 的一元函数来研究。1814年柯西定义的正则函数（解析函数）要求 f(z) 的导数存在且连续。 二、复变函数与积分变换的发展历史 工程数学 复变函数与积分变换 1900年，法国数学家古萨（E. Goursat, 1858-1936）免去了导数必须连续的条件，建立了柯西-古萨基本定理。 尽管柯西-黎曼方程（C-R方程）早在1746年就已出现，但是由于柯西在复积分方面的贡献以及他建立了系统的理论，人们还是认为柯西是复分析的创始人。 二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒（维尔斯特拉斯的学生）、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 193