2.2.3向量数乘运算及其几何意义(上课用)详解.ppt

* * 如何求作两个非零向量的和向量？ 首尾相连，起点到终点. O A B 如何求作两个非零向量的差向量？ 共起点连终点，“后指向前”. O A B 实际背景 A B C O P Q M N 已知非零向量 ，作向量 和 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下： （1） （2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。 特别的，当 时， 1、向量数乘的定义 设 为实数，那么 特别的，我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意 向量 ，以及任意实数 ，恒有 第一分配律 第二分配律 2、数乘运算律 例1.计算： A B P O 思考1：如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？ C 向量中点公式 例2 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M， 且 = ， = ，试用 , 表示向量 、 、 、 M A B D C M A B D C 思考2：对于向量 （ ）和 ，若存在实数λ， 使 =λ ，则向量 与 有什么关系？ 思考3：若向量 （ ）与 共线，则一定存在实数 λ，使 =λ 成立吗？ 3、向量共线定理：向量 （ ≠0）与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 =λ . 若 ＝ ，上述定理成立吗？ 共线 思考4：若存在实数λ，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？ A、B、C三点共线 3、 定理的应用： (1) 证明 向量共线； (2) 证明 三点共线； (3) 证明 两直线平行. ∥ 例3.如图，已知任意两个向量 ，试作 你能判断A、B、C三点之 间的位置关系吗？为什么？ A B C O -1 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 三点共线。 提示：设AB = a BC = b 则MN= … = a + b MC= … = a+ b *