【高中数学选修2-2】1.3.1.函数的单调性与导数详解.ppt

北京大峪中学高三数学组石玉海 * 函数的单调性 * 1.3.1 函数的单调性与导数 首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义. 导数在研究函数中的应用主要有三方面 1.用导数研究函数的单调性； 2.用导数研究函数的极值； 3.用导数研究函数的最值. 这节课，我们先探讨函数的单调性与导数的关系. 复习回顾 复习回顾 y x 0 a b c 观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你发现了什么规律? 2 y x 0 . . . . . . . 再如：观察函数y=x2－4x＋3的图象： 总结:该函数在区间 （－∞，2）上单调减, 切线斜率小于0,即其 导数为负, 在区间（2，+∞）上单调增,切线斜率大于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变. 函数单调性与其导数正负的关系: 一般地,函数y=f(x)在某个开区间(a,b)内 如果f’(x)0, 则f(x)在这个区间内单调递增; 如果f’(x)0, 则f(x)在这个区间内单调递减. 注意:如果在某个区间内恒有f’(x)=0,则f(x)为这个区间内的常数函数. 结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明： 交换命题的条件和结论还成立么？ 注： 如果函数f(x)在指定区间单增，则 f’(x) ≥0 如果函数f(x)在指定区间单减，则 f’(x) ≤0 定义域是闭区间怎么办？ 例1. 确定函数 在哪个区间内是增 函数,哪个区间内是减函数. 例2 讨论函数y= 的单调性. 2x - x2 解:由 y ′= , 解不等式y ′0得:x1,则函数的 单调增区间为(-∞,1). 解不等式y ′0得:x1,则函数的 单调减区间为(1,+∞). 2x - x2 1 - x 这种解法对么？ 例2 讨论函数y= 的单调性. 2x - x2 正解:函数的定义域为[0,2]. y ′= , 解不等式y ′0得:0《x1,则函数的 单增区间为[0,1). 解不等式y ′0得:1x《2,则函数的 单减区间为(1,2]. 2x - x2 1 - x 点评：研究函数的单调性切记先求定义域！ 归纳： 根据导数确定函数的单调性一般需三步： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f’(x)0,与定义域取交集得函数 单调增区间; 解不等式f’(x)0,与定义域取交集得函数 单调减区间. 注：单调区间不可并。 例3 已知导函数 的下列信息: 当1 x 4 时, 当 x 4 , 或 x 1时, 当 x = 4 , 或 x = 1时, 试画出函数 的图象的大致形状. 解: 当1 x 4 时, 可知 在此区间内单调递增; 当 x 4 , 或 x 1时, 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 综上, 函数 图象的大致形状如右图所示. x y O 1 4 临界点（拐点） 例4 如图, 水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象. (A) (B) (C) (D) h t O h t O h t O h t O 分析：依据单位时间内，高度变化量得大小判断。 北京大峪中学高三数学组石玉海 * 函数的单调性