“等时圆”模型基本规律及应用.doc

“等时圆”模型的基本规律及应用 （此文章已发表于《考试》杂志） 。 2、运用等效、类比自建“等时圆” 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。 解析由等时圆特征可知，当A、B处于等时圆周P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要 如图6所示，此时等时圆的半径为： 所以 例4：如图7， AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？ 解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/ 2。 三、“形似质异”问题的区分 1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？ 解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ，tbd==2。可见t与θ有关。 2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ） A、a处小孩最先到O点 B、b处小孩最先到O点 C、c处小孩最先到O点 D、a、c处小孩同时到O点 解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则=gsinθt2，t2=，当θ=450时，t最小，当θ=300和600时，sin2θ的值相等。 2 P θ O h 图7 B θ A O C 图8 B θ A P 图5 图6 a O b c H P B A O h H P B A O1