例析非负数相关问题.doc

例析非负数相关的问题 非负数问题（实数的绝对值是非负数、实数的偶数次幂是非负数、算术平方根是非负数（被开方数也是非负数）、一元二次方程有实数根时根的判别式是非负数、图形中的线段、面积、体积的量数都是非负数、统计中的方差是非负数等）是初中数学竞赛的重点内容．本文从五个方面介绍这类问题的求解． 1．绝对值问题 实数的绝对值是非负数．若是实数，则≥0．它的几何意义是数轴上数到原点的距离． 例1 的最小值是 ． 分析：借助数轴可把的取值分为四段（如图1），然后转化为－次函数求解． 解：令． 当≤－1时，≥3＋4=7； 当－1≤2时，≥－2＋6=4； 当2≤3时，≥2＋2=4； 当3时，9－4=5． 故d的最小值是4． 例2 若函数，则当自变量取1，2，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）． （1999，全国初中数学联赛） （A）540（B）390（C）194（D）97 ， 所以，当2≤≤98时，． 因此，当自变量取2，3，…，98时，函数值为0；而当取1，99，100时，函数值的和为（12）（198）（2）（98）＋是实数，则≥0（n是正整数）．对于任意的实数、，都有≥0，即，当且仅当时，有最小值．特别地，当时，有，当且仅当时，有最小值． 例3 实数满足，求的值． （第10届五羊杯初三数学竞赛） 分析：对于－个三元方程，要求出每－个未知数的值，将方程转化成“0＋0=0”型是一个不错的选择，本例可将方程转化为 （．故． 例4 若实数满足，则（ ）． （A） （B）≥2 （C）≥4 （D）0≤1 分析： 由题设等式得，再由这两个等式的特征易联想到“当，时，有，于是，可以利用这一性质求解． 解：易知． 因，，所以，同负，即，且． 由，得，解得． 因此，≥2．故选（B）． 3．算术平方根问题 正数的正平方根和零的平方根统称为算术平方根．二次根式的意义是表示非负数的算术平方根．对于二次根式，有≥0，≥0． 例5 求的最小值． 分析：从题给函数的形式来看，可以看成是以、1为直角边的直角三角形的斜边．于是，此题可归结为求两直角三角形斜边和的最小值． 解：如图2，构造Rt△PAC、Rt△PBD，使AC=1，BD=2，CP=，PD=．于是，原问题转化为：在直线上求－点P，使PA＋PB的值最小． 因为= PA＋PB≥AB，所以，= PA＋PB的最小值为AB． 过B作BE∥，交AC的延长线于点且则 AE=AC＋CE=AC＋BD=3，BE=CD=＋= 4． 所以，AB=5．故的最小值为5． 例6 设为正实数，．有一个三角形的三边长分别为，，．则此三角形的面积为 ． （第12届五羊杯初三数学竞赛） 分析：由很容易联想到勾股定理，题中三角形的三边是由三个直角三角形的斜边构成的． 解：如图3，作矩形ABCD，使AB=，AD=，延长DA至点B，使DE=，延长DC至点F，使DF=，联结EF、FB．则 BF=，EF=，BE=． 从而知△BEF是题设的三角形．于是， S△BEF=S长方形ABCD＋S△BCF＋S△ABE—S△DEF =． 4． 与方差相关的问题 对于数组，平均数为，有 ． 注意到≥0，因此，． 例7 已知均为实数，且．求实数的最大值． 分析：将题设等式变形为 ，于是，可将问题转化成方差问题，利用方差的非负性求解． 解：对于数组，有， ≥0． 化简得≤0．解得0≤≤， 故的最大值为． 例8 求函数的最大值． 分析：注意到和这两个二次根式的被开方数的和是－个常数8，因此，可借助方差的非负性来求解． 解：由题设知0． 注意到和这两个数的方差是 ≥0． 解得≥0，即≤16． 因此，最大值 = 4． 5．与求根公式中△≥0相关的问题 －元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反之也成立．若－元二次方程有两个实数根，则．若（），则－元二次方程有两个实数根． 例9 已知o、b是正数，并且抛物线和都与轴有公共点．则的最小值是 ． （2000，全国初中数学联赛） 分析：抛物线与轴有公共点，即隐含着．利用它可推出≥64≥64，求得≥≥4，从而使问题获解． 解：由题设知≥0，≥0． 于是≥64≥64，即≥4． 进而≥≥4．故≥20． 又当时，抛物线和都与轴有公共点，所以，的最小值为20． 例10 当取什么实数时，方程有实数根? （1987，全国初中数学联赛） 分析：先通过计算c求得 ≤0， 再利用完全平方公式将它转化成 ≤0 即可． 解：当时，方程有实数根 ≥0≤0． 又≥0，因此，只有=0． 故当时，题设方程有实数根． 例11 已知实数满足． （1）求中最大者的最小值； （2