含参数不等式恒成立问题中参数范围确定.doc

含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定 确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结. 1 分离参数法 例 1：设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，若当 时有意义, 求a的取值范围。 该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法： 例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征： 因为分母n是正数，要使得当有意义，分子就必须也是正数。并容易看出，可以将a分离出来。 分析： 当时，有意义，故有 令，只要对在上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a。 解： 由时，有意义得： ，由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是＝ 故 a 一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 ， （ ，为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤： （1） 将参数与变量分离，即化为的形式； （2） 求在D时的最大（或最小）值； （3） 解不等式 得的取值范围。 思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。 例 2： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意求实数m范围，使 恒成立。 解： ∵ f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数， ∴ f(x)在上为增函数 又 ∵ ∴ ＞－＝ ∴ 即 ∵ 2－， ∴ 2 ∴ m 令2－ ∴ m4－ 即4－m在上恒成立 即求在上的最小值 ∵ ≥2等号成立条件t=,即成立 ∴ ∴ 4－m即m4－ ∴ m的取值范围为（4－，＋∞） 例 3： 设0a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式 求正实数b的取值范围。 简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A＝， B= 由题设知AB，则： 于是得不等式组： 又 ，最小值为； 最小值为； ∴ , 即 ：b的取值范围是 2 主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 例4：若对于任意a，函数的 值恒大于0，求x的取值范围。 分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值 很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。 解： 设 ，把它看成关于a的直线， 由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 解得： 或或 例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。 分析： 一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。 解： 若设，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以 解得： 3 构建函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通