洛必达法则失效种种情况及处理方法.doc

洛必达法则失效的种种情况及处理方法 今天我在看XX书时，看到这样一道题，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。 洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则的三个条件： （1）（或），（或）； （2）和在点的某个去心邻域内可导； （3）（或）。 其中第三个条件尤其重要。 其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。 而对于极限问题来说，因为不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。 实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。 【问题】求极限。 【解】对于任何足够大的正数，总存在正整数，使，也就是说总存在正整数，使，其中。 这样就等价于，所以 ， 这里前面一项注意到了函数的周期为，而后面一项作了令的换元处理。最后注意到积分值的有界性（）。 如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。 【问题2】求极限（1）；（2）。 【分析与解】（1）这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到 ， 可知洛必达法则失效，处理的方法是 。 （2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到 ， 可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘，得到 。 【问题3】求极限。 【分析与解】这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件 完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有效的方法是作换元，令，这样就有 。 还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“2008考研数学辅导系列之24（4月14日博文《泰勒公式的应用》）”一文中的 【例1】求极限问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了．