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由劣弧测量而引出的 一种新的描述及评价测量的方法 平夏 王国民 童云飞 （无锡市计量测试中心214101） 【摘要】：大半径小圆弧因可测量的圆弧段太短，会把测量误差放大，从而影响评价结果，引起单一的圆心和半径难以确定。本文讨论了如何在逻辑上避免了此问题，并且提出一种新的描述及评价测量的方法。 【关键词】：劣弧，小圆弧，描述，评价 0 引言 首先，要指出一个长久以来存在的误区。我们总是会看到这么一句话：“一直以来，劣弧的圆心及其半径的测定是一项未解决的技术难题……”其实，这并不是一个真实存在的很严重的问题。当然，这里并不是说能够测准劣弧圆心和半径，事实上确实是测不准，但是，为题在于：我们为什么一定要测准圆心和半径？这么做有何实际意义？ 事实上，真实存在的点处于弧状部位，我们实际测量的正是这些点的位置，而所谓用各种方法拟合出来的圆心和半径只是我们自己定义的一个假象的概念，它们的重要性是很低的。那么如何来描述及评价一段劣弧，是本文将要探讨的问题。 1 描述与评价 在几何量测量中，永远是取实际物体的某些特征点，即使是扫描也不可能“面面俱到”，所以测量的点的数目是可数的。某次测量了若干个点，我们称记录测量点的过程称之为“描述”。 在测量完毕后，我们要把记录的数据进行处理以得到测量的结果，那么我们称处理数据的过程为“评价”，那么将上述N个点拟合成的圆、平面、直线等就是评价的结果。 2 传统的描述与评价 三点拟合圆的方法是大家都熟知的，那么在零件表面的形状误差与测量误差不可避免的情况下，所采点的误差与所计算出来的半径误差存在如下关系： 图1 如图1，设实际测得到三点,,与理论三点A,B,C的误差均为e， 可以推导得： （1） 由上式可知，圆心角越小，误差放大比例越大，这就是所谓的“差之毫厘，谬以千里”。 那么为什么会引起误差放大呢？正是因为我们的描述不是一个完备的描述，即使我们在劣弧上尽量采集更多的点，它也是不完备的，那么用传统的评价方式得到的半径及圆心坐标偏离理论值就非常大。 通常来说，上述“描述”的“评价”可以取为： 其中f（xi） 为实际测量点，是原始的描述，f（xi）′为拟合圆，是评价的结果， J越小说明越接近实测点的真实信息。最小二乘法的思想就是令J取最小值为约束条件，从而得到一些结果。 3 一种新的描述与评价 圆与圆弧的测量一般分为二种情况：定圆心与半径的测量或只定半径的测量。 对于整圆或大圆心角圆弧来讲，测量圆心位置及半径是较为简单的问题，这里不作进一步讨论，而对于劣弧来说，测量圆心位置及半径就如引言中所说，是测不准的。那么我们是否能换一种思维方式呢？测不准圆心位置及半径，我们是否能通过评价其轮廓度来确定其圆心位置及半径的准确性？我们认为是可行的，与实际工作状态也是相符的。这就引出了一种新的描述与评价。 以劣弧为例，这种“描述”型式的“评价”怎么计算呢？ 我们令 f(x)=（x-x0）2+（y-y0）2=R2,该曲线为理论圆的“描述”曲线 当所测劣弧是定圆心与半径的，则其描述与评价如下式： 上面表达式的含义是求出每个实测点到理论圆心的距离与理论半径的差值的绝对值，取其中的最大值为J ，则其轮廓度为2J。 当所测劣弧只定半径，则其描述与评价就相对复杂，如下式： 上面表达式的含义如下：不断平移同一个“描述”曲线（即理论圆），计算每个实测点到理论圆心的距离与理论半径的差值的绝对值的最大值，这些不同位置的“描述”曲线所得到的所有值中取一个最小值，将此最小值作为我们的“评价”：J，取2J作为该劣弧的轮廓度。该描述与评价可以编制一应用程序，进行快速计算，部分程序见下： #include stdio.h #include math.h void findmoment(int n,double Xtest[100],double Ytest[100],double circle[2]) { int i,j,k; circle[0]=0; circle[1]=0; for(i=0;in;i++) for(j=i+1;jn;j++) for(k=j+1;kn;k++) … … … label:; getchar(); printf(go on?(\y\ or \n\,or \r\ to input r and delta,keeping x and y unchannged)\n); switch(getchar()) { case y: case Y:goto again; case n: case N:goto end; case r: cas