12不等式的性质与证明.doc

高考必备：十二、不等式的性质与证明 要点强记 不等式的可用工具 1、不等式的性质：不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面。 单向性：①；②； ③；④； ⑤；⑥； ⑦；⑧； 双向性：①；②为整式； 单向性主要用于证明不等式，应用时，要注意不等式性质成立的条件，特别是应用单向性⑦、⑧解无理不等式和形如的高次不等式时，要注意对为奇数、偶数的讨论，即挖掘不等式中的隐含条件。双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式）。 2、几个有用的基本不等式： ①，当且仅当时取得等号； ②，当且仅当时取得等号； ③，当且仅当时取得等号； ④，当且仅当时取得等号；注意此公式不能直接应用，应用时请先证明。 这些有用的不等式，在利用综合法证明时，扮演了非常重要的角色，应用时，应注意等号成立的条件。 不等式证明的常用方法 比较法：比较法有两种，求差比较法和求商比较法。 求差比较法：它适用于多项式类型的不等式，作差后通常进行因式分解，再讨论各因式的符号，进而判断正负值。特殊地，当不等式为二次式时，作差后也可以考虑配成完全平方。作差比较法的程序是“作差——变形——判断差式的正负号”； 求商比较法：它适用于连乘类型的不等式，希望作商后分子分母能约去一部分，一般地，作商后，常化为指数函数类型来确定比值的大小。作商比较法的顺序是“作商——变形——判断商式与1的大小”（注意同式的分子分母均正）。 2、综合法：利用几个有用的不等式作为基础，再结合不等式的性质，推导出所要证的不等式，这种方法称为综合法。因为综合法所使用的工具（不等式的性质和几个有用不等式）都具有轮换对称性，所以综合法通常适用于轮换对称型的不等式。 3、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法。分析法的特点是从结论出发，是一种“执果索因”的证明方法，因此它适合于结论比较复杂的不等式，其优点是便于寻找解题思路。 4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的，这种证明方法叫做反证法。 用反证法证明不等式要把握好三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的；②反证法必须从否定结论开始推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，总之，推导出的矛盾必须是明显的。 反证法和分析法的共同之处都是从结论出发，因此，它们都适用于结论比较复杂的命题，或者说适合于宜从结论出发的命题（如结论中含有根号）。但是两者之间还是有很大差别的。首先是证明格式上的差异，其次是适用性的差异，反证法适合于结论多样化，且结论的反面呈现出唯一性的命题。 5、放缩法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩法有增项、减项，和利用分式不等式的性质进行放缩，常见的利用不等式性质进行放缩的不等式有： ①； ②； ③； ④ ⑤ 以上这些不等式经放缩后，便于相消求和。 特别警示 要熟练掌握不等式的性质，要注意某些性质成立的条件，如在不等式两边同乘一个数时，要注意该数的正负对不等式的影响。 利用算术平均值与几何平均值的定理求某些函数的最大值、最小值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件。 ,这种加一项，减一项的技巧在不等式的放缩时非常有用。