2.2直接证明与间接证明学案.doc

2.2直接证明与间接证明学习目标：重点：难点：学习策略知识点一：直接证明表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 　　　　 （已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论） 2、分析法　 （1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.　 （2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. （3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：　　　　　　　　　　　　（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）　　 （4）分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。 知识点二：间接证明则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：　　　　　　 （5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件. 规律方法指导1.用反证法证明数学命题的一般步骤：2.适合使用反证法的数学问题：经典例题透析类型一：综合法中，，，是的中点.　　　　　　求证：垂直于所在的平面.　　　　　　　　　　　　　　　　 思路点拨：要证垂直于所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直. 解析：连、因为是斜边上的中线，所以又因为,而是、、的公共边，所以于是,而，因此∴，由此可知垂直于所在的平面. 总结升华：这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：　　（1）由已知是斜边上的中线，推出，记为（已知）；　　（2）由和已知条件，推出三个三角形全等，记为； （3）由三个三角形全等，推出，记为； （4）由推出，记为（结论）.　　　　 这个证明步骤用符号表示就是（已知）（结论）. 举一反三： 【变式1】求证：. 【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.∵，∴左边∵，　 　　　　　∴. 【变式2】在锐角三角形ABC中，求证：　　【答案】∵在锐角三角形ABC中，，∴，∵在内正弦函数单调递增，∴,即同理，，∴ 类型二：分析法2．求证： 思路点拨：由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到，，也可用综合法证明.　　法一：分析法 要证成立， 只需证明， 两边平方得， 所以只需证明， 两边平方得，即，∵恒成立，∴原不等式得证. 法二：综合法 ∵，，　　，∴. ∴.∴.即原不等式成立. 总结升华： 1．在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法. 2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程. 举一反三： 【变式1】求证： 【答案】∵、、均为正数 ∴要证成立，只需证明， 两边展开得即，所以只需证明即，　 　　　　 ∵恒成立， ∴成立. 【变式2】求证：　　 【答案】 法一：要证成立， 只需证明，即只需证明即，∵恒成立， ∴成立. 法二：∵　∴，　　　　　∴ 【变式3】若求证：. 【答案】由，得，即 （*）另一方面，要证，　 　　　　 即证， 即证，　 　　　　 化简，得.　 ∵上式与(*)式相同.所以，命题成立. 类型三：反证法3．设二次函数中的、、均为奇数，求证：方程无整数根. 思路点拨：由于要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论. 证明：假设方程有整数根，则成立，所以.　　　　　因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.因为已知、为奇数，又为奇数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立. 总结升华：反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题. 举一反三： 【变式1】若都为实数，且，，，　　求证：中至少有一个大于0. 【答案】假设都不大于0，则，，，所以 又 　　　　　　 　　　　 .　 因为，，，，所以，所以，这与矛盾，