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函数的一一致连续性专题(第2-第3讲)
函数的一致连续性专题
1、函数一致连续性的定义：
2. 在区间I上不一致连续，存在，对任意的，存在，虽满足
，但.
3、若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。
4、函数在区间和上一致连续，若，则在上一致连续。
一．应用定义来证明函数的一致连续性与不一致连续性
例1：在上一致连续
例2：在上不一致连续
例3：设在区间上可导，且，求证在区间上一致连续
例4：若函数在区间上满足下述Lipschitz条件，即，有成立，则在上一致连续。
习题1：.设函数在区间上连续，且满足在上有界，则在上一致连续。
二：函数不一致连续的一个等价刻画及具体函数不一致连续的判别
命题： 若函数在区间I上不一致连续的充分必要条件是：存在两个点列，满足，但.
例3： 函数在区间上不一致连续（湘潭大学2009年）
例4：不一致连续 (2009年大连理工大学)
三、一致连续性的极限判别法（说明有界性 区间结构 连续性，一致连续性之间的关系）
命题3： 连续函数在有限区间上一致连续的充要条件是：是在上连续且及都存在。（江苏大学2010）
(学生考虑问题：闭区间上连续的函数一定是有界的，开区间的情况呢)
习题2：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。
例6：设在上连续, 且. 证明： 上一致连续.
习题： ，证明函数在上一致连续。
（注意 极限存在是必要条件吗？ 例子 ）
命题4.1： 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。
（有界与一致连续之间的关系）
例子：设函数在开区间内连续且有界，试讨论在内的一致连续性。（大连理工 2005年）
例子：存在有限区间上连续且有界但非一致连续的函数.（苏州大学2009年）
四．一致连续函数的乘法运算对一致连续性的保持性
定理5： 若都在有限区间上一致连续，则也在有限区间上一致连续。（北京大学2007年）
问题：对于无限区间上是否也有这样的结论呢？即可
习题：若都为R上的有界一致连续函数，则也在R上一致连续。（北京大学2009年）
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