函数的单调性和奇偶性专题amy.docVIP

　 函数的单调性和奇偶性专题四、关于函数的奇偶性的个。 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。 3 是任意函数，定义域关于原点对称，那么是偶函数。 函数是偶函数，函数是奇函数。 已知函数是奇函数，且有定义，则。 已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零； 若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。 经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性. 　　证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1＞0　　　　　 则　　　　　 ∵x1＞0，x2＞0，∴　　　　　 ∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0　　　　　 ∴上递减. 　　举一反三：　　【变式1】用定义证明函数上是减函数.　　思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.　　证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1　　　　　 ∵0＜x1x2＜1 　　　　　 故，即f(x1)-f(x2)＞0　　　　　 ∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)　　　　　 上是减函数.　类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间； 　　(1)y=x2-3|x|+2； (2)　　解：(1)由图象对称性，画出草图　　　　　　　　　　∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.　　(2)　　　 ∴图象为　　　　　　　 　　　 ∴f(x)在上递增.　　举一反三：　　【变式1】求下列函数的单调区间：　　(1)y=|x+1|； (2)　　　　(3).　　解：(1)画出函数图象，　　　　　 ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；　　　　(2)定义域为，　　　　　 其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，　　　　　 则上为减函数；　　　　(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).　　总结升华：　　[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；　　[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.　　[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 　　解：　　　　 又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.　　4. 求下列函数值域： 　　(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；　　(2)y=x2-2x+3；　 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].　　思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.　　解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图　　　　　 　　　　　 1)f(x)在[5，10]上单增，；　　　　　 2)；　　　　(2)画出草图　　　　　　　　　　　　　　 1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；　　　　　 2).　　举一反三：　　【变式1】已知函数.　　(1)判断函数f(x)的单调区间；　　(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.　　思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.　　解：(1)　　　　　　上单调递增，在上单调递增；　　　　 (2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增　　　　　　∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2　　　　　　x=3时f(x)有最大值　　　　　　∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.　　5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数， 求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 　　解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知　　　　　　只需；　　　　 (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4　　　　　　∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7　　　　　　.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性： 　　(1) 　　　(2)　　(3)f(x)