初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题.docxVIP

HYPERLINK /zplqla/index.asp?clbs=6hntbyid=1855 \t _blank 数学专题——三角形中的常用辅助线 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线??????????????????????????????????? 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 ? 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC 边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。 ? 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。 解答过程： ? ? 证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。 又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD， 故EB=AC，∠E=∠2， ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠E， ∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。 解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。 ? （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，ABAD。求证：∠B+∠ADC=180°。 思路分析： 1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。 2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。 解答过程： 证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。 ∵AC平分∠BAD， ∴CE=CF。 在Rt△CBE和Rt△CDF中， ∵CE=CF，CB=CD， ∴Rt△CBE≌Rt△CDF， ∴∠B=∠CDF， ∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠B+∠ADC=180°。 解题后的思考： ①关于角平行线的问题，常用两种辅助线； ②见中点即联想到中位线。 ? （4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。 ??求证：DE=DF。 思路分析： 1）题意分析：?本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段