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初高中数学衔接 第一课时 数与式的运算: 1.1.1 绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间距离． 例1 解不等式：＞4． 解法一：由，得；由，得； ①若，不等式可变为， 即＞4，解得x＜0， 又x＜1，∴x＜0； ②若，不等式可变为， 即1＞4，∴不存在满足条件的x； ③若，不等式可变为， 即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． 1 3 A B x 0 4 C D x P |x－1| |x－3| 图1．1－1 解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式＞4的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4． 1.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）三数和平方公式 ； （4）两数和立方公式 ； （5）两数差立方公式 ． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：． 解法一：原式= = =． 解法二：原式= = =． 例2 已知，，求的值． 解： ． 例1 计算：． 解法一：原式= = =． 解法二：原式= = =． 例2 已知，，求的值． 解： ． 例3已知，求的值． 解： 原式= 说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举． 例4已知，求的值． 解： 原式= ① ②，把②代入①得原式= 说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 1.1.3．二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式的意义 将下列式子化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 解： （1）； （2）； （3）． 例2　计算：． 解法一： ＝ 　　　　　　　　 ＝ ＝ 　　　　　　　　 ＝ 　　　　　　　　 ＝． 解法二： ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ 　 　＝． 例3 试比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和. 解： （1）∵， ， 又， ∴＜． （2）∵ 又 4＞2 eq \r(2)， ∴ eq \r(6)＋4＞ eq \r(6)＋2 eq \r(2)， ∴＜. 例4　化简