初高中数学衔接内容.docVIP

初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像初高中数学衔接教材 补讲内容 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 例1 解不等式：＞4． 解法一：由，得；由，得； 若，不等式可变为， 即＞4，解得x＜0， 又x＜1， x＜0； 若，不等式可变为， 即1＞4， 不存在满足条件的x； 若，不等式可变为， 即＞4， 解得x＞4． 又x≥3， x＞4． 综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． 解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|， ， . 例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，. 求证：（1），； （2） 证明 （1）在与中，， ， 同理可证得. （2）在与中，， ， 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 在中，，求证：. 证明 ， 为直角三角形，又， 由射影定理，知. 同理可得. . 例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： 当时，有.（如图3.1-14a） 当时，有.（如图3.1-14b） 当时，有.（如图3.1-14c） 在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）. 解：依题意可以猜想：当时，有成立. 证明 过点D作DF//BE交AC于点F， D是BC的中点，F是EC的中点， 由可知，. 想一想，图3.1-14d中，若，则. 3.2.2 几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 例5 在中，求 （1）的面积及边上的高； （2）的内切圆的半径； （3）的外接圆的半径. 解 （1）如图，作于. 为的中点， 又解得. （2）如图，为内心，则到三边的距离均为， 连， ， 即， 解得. （3）是等腰三角形， 外心在上，连， 则中， 解得 在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：. 例6 如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：. 证明：过A作于D. 在中，. 在中，. . . . 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 例7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为， “若点P在一边BC上，此时，可得结论：.” 请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点P在内（如图b），（2）点在外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）. 解 （1）当点P在内时， 法一 如图，过P作分别