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变化率与导数及其计算，导数的几何意义及其应用 一、 变化率与导数及其计算 问题1.气球平均膨胀率. 吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗? 解：气球的体积，则。 当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了； 气球平均膨胀率： 问题2.平均速度. 物体自由落体的运动方程是: ，求１s到２s时的平均速度． 解：，，平均速度 思考：求s到s时的平均速度． 平均变化率 如果上述的两个函数关系用表示,那么当自变量从变化到时，函数值就从变化到,则函数从到的平均变化率：。 思考：它的几何意义是什么呢？ 问题３：瞬时速度 物体自由落体的运动方程是: ，如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ 能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？ （我们可以取t=3临近时间间隔内的平均速度当作t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小） 解：取一小段时间：，则有 ，从而 当时，=29.4（平均速度的极限为瞬时速度） 即： 思考：在时刻的瞬时速度呢？ 瞬时变化率 思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数在点的瞬时变化率呢？ 可知:函数在处的瞬时变化率为：，我们称它为函数在处的导数，记作。 小结1：由定义知，求在处的导数的步骤为： 例1. 求在点处的导数． 解：， ，。 小结2： １．平均速度　　　瞬时速度； ２．平均变化率　　　瞬时变化率； ３．导数 二、导数的几何意义 如图,曲线C是函数的图象,是曲线C上的任意一点, 为P邻近一点, PQ为C的割线,PM // x轴,QM // y轴,β为PQ的倾斜角.则 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即：。 注：这个概念， 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ② 切线斜率的本质——函数在处的导数. 例1: 求曲线在点P(1,2)处的切线方程. 因此,切线方程为, 即. 注：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.  练习: 如图已知曲线上一点，求: (1) 点P处的切线的斜率; (2) 点P处的切线方程.  即点P处的切线的斜率等于4. (2) 在点P处的切线方程是，即. 三、导数 1. 什么是导函数? 由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数.那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.即: 在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 注： 2. 如何求函数y=f(x)的导数? ， 知识小结: a. 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b. 要切实掌握求导数的三个步骤： （1）求函数的增量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。 c. 弄清“函数在点处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 （2）函数的导数，是对某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数。 （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，即。这也是求函数在点处的导数的方法之一。 d. 求切线方程的步骤： （1）求出函数在点处的导数，得到曲线在点的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 注：无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。 1 x Q P y = x 2 +11 x y - 1 1 1 O ? M ? y ? P O 4 3 2 1 -1 -2 2 1 -1 -2 x y