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向量在数学中的作用
论向量在高中数学教学中的作用
作为新课程改革,高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确:为研究函数、空间图形,提供新的研究手段,即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”,只有在深刻理解的基础上才能用好,而要想用活,这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识,丰富知识网络,形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。,极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。
(一)性质的产生与内含
已知向量和轴l,是l上与l同方向的单位向量,作点A在l上的射影,作点B在l上的射影 则叫向量在轴l上或在方向上的正射影,简称射影。 可以证明得,(证明略,图如下所示。)
此性质的内含理解有四点:
①结果是一个数量(本身含正负号);②其正负号由向量所成角的范围决定;③加上绝对值便是一条线段长度(这里刚好组成一个直角三角形的两条直角边);④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影(此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线)。
(二)性质的“知识链”
对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题,我们的学生可以说是欣喜若狂啊,因为学生觉得这种方法好!可操作性强!(只要能建系,有坐标就行!)但在实际应用中,学生觉得这些结论不易理解,加上这些结论只能逐步形成和完善,靠死记硬背吧,今天记了明天又忘了!等到用时,仍是“生硬、呆板”,甚至张冠李戴。如何突破这一问题?我认为其根本原因是:在学生的认知结构里,这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么,这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢?
(1)它是空间三大角(即线线角、线面角、二面角的平面角)用向量法求解的“对接点”。
1.1线线角的求法的新认识:
我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角(两个向量所成的角的范围为),即,我们能否加以重新认识这个公式呢?如图,
,此时OB1可以看作是与方向上的单位向量的数量积,这就是由数量积这条性质滋生而成的;故此结论重新可以理解为:(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。
1.2线面角的求法的新认识:
(其中为平面的一个法向量),此结论重新可以理解为:,此时OP又可以看作是在上的投影,即与方向上的单位向量的数量积,,故(这里刚好满足三角函数中正弦的定义:对边比斜边)。
1.3二面角的平面角的求法的新认识:
=(其中是两二面角所在平面的各一个法向量)此结论重新可以理解为:(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。
★三大角的统一理解:
、、、
其从上述梳理完全可以看出其本质特征:这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成!
(2)它又是空间三大距离(即点线距、点面距、异面直线间距离)用向量法求解的“联系点”。
空间中有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求:对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来新的活力!不用作出(或找出)所求的距离了。
2.1点面距求法的新认识:
(其中为平面的一个法向量),此结论重新可以理解为: ,即在上的投影,即与方向上的单位向量的数量积。
2.2点线距求法的新认识:
1)新认识之一:
如图,若存在有一条与l相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量,则点P到l的距离。
2)新认识之二:
若不存在有一条与l相交的直线时,
我们可以先取l上的一个向量,再利用来解,即:,而数量OB可以理解为在l上的向量的投影,也即为:。
2.3异面直线间距离求法的新认识:
从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说的新情况。实际上,这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法:只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说,在不要作出公垂线(也许学生作不出!)的情况下,也可以求出它们的距离的!那就是用向量法!
如图所示:若直线l1与直线l2是两异面直线,求两异面直线的距离。
略解:在两直线上分别任取两点A、C、B、D,构造三个向量,记与两直线的公垂线共线的向量为,则由,得,则
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