圆锥曲线中的定点定值和最值问题.docVIP

1．[2015·山西质监]已知动点Q与两定点(－，0)，(，0)连线的斜率的乘积为－，点Q形成的轨迹为M. (1)求轨迹M的方程； (2)过点P(－2,0)的直线l交M于A，B两点，且＝3，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值． 解　(1)设Q(x，y)，则·＝－(x≠±)， 化简得轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠±)． (2)由(1)知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my－2， 代入椭圆方程得(m2＋2)y2－4my＋2＝0， Δ＝8(m2－2)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 由＝3得，y2＝3y1. 由可得m2＝4.经检验，满足Δ0. 不妨取m＝2，设直线CD的方程为x＝2y＋n，代入椭圆方程得6y2＋4ny＋n2－2＝0，Δ＝8(6－n2)， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 则y3＋y4＝－n，y3y4＝， 又由已知及Δ0，可得2n26. 又|x3－x4|＝2|y3－y4|＝， 则S四边形CEFD＝|y3＋y4||x3－x4|＝≤×＝， 当且仅当n2＝3时等号成立． 所以四边形CEFD面积的最大值为. 2．[2015·江西师大附中、鹰潭一中联考]已知抛物线E：y2＝2px(p0)的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为M，N，|MN|＝. (1)求抛物线E的方程； (2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝(其中O为坐标原点)． 求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标； 过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值． 解　(1)由已知得K，C(2,0)． 设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝. 于是|CR|＝＝， 所以|CK|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2，故抛物线E的方程为y2＝4x. (2)证明：设直线AB的方程为x＝my＋t，A、B， 联立得y2－4my－4t＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t. 由·＝得：＋y1y2＝y1y2＝－18或y1y2＝2(舍去)， 即－4t＝－18t＝，所以直线AB过定点Q； 由得|AB|＝|y2－y1|＝·， 同理得，|GD|＝|y2－y1|＝·， 则四边形AGBD面积S＝|AB|·|GD|＝· ＝4 令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝4是关于μ的增函数， 故Smin＝88.当且仅当m＝±1时取到最小值88. 3．[2015·洛阳统考]设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(ab0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－. (1)求椭圆E的方程； (2)已知椭圆E：＋＝1(ab0)上点N(x0，y0)处切线方程为＋＝1.若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标． 解　(1)由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)，设M(x，y)， k1k2＝－，·＝－，即＝－. M(x，y)在椭圆E上，＋＝1， ＝－，＝，a2＝2b2. 又a2－b2＝c2＝1，a2＝2，b2＝1. 椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)证明：设切点坐标为C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)， 则切线方程分别为＋y1y＝1，＋y2y＝1. 两切线均过点P， ＋ty1＝1，＋ty2＝1，即x1＋ty1＝1，x2＋ty2＝1， 直线CD的方程为x＋ty＝1. 对于任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1,0)． 4．[2015·大连双基测试]已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q. (1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值； (2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，·＝2，求抛物线C的方程． 解　(1)设直线l1的方程为：x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立方程，得y2－2pmy－4p＝0，y1＋y2＝2pm，y1·y2＝－4p. k1＋k2＝＋＝＋＝＝＝0. (2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，当x＝－2时，yM＝， 同理yN＝. 因为·＝2，所以4＋yNyM＝2，·＝－2， ＝－2， ＝－2， p＝，抛物线C的方程为y2＝x. 5．[2015·贵阳监测]已知椭圆C的两个焦点是(0，－)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F. (1)求椭圆C和抛物线E的标准方程； (2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的