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圆锥曲线中的定点定值和最值问题

1.[2015·山西质监]已知动点Q与两定点(-,0),(,0)连线的斜率的乘积为-,点Q形成的轨迹为M. (1)求轨迹M的方程; (2)过点P(-2,0)的直线l交M于A,B两点,且=3,平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C,D两点,过C,D两点分别作CE,DF垂直x轴于E,F两点,求四边形CEFD面积的最大值. 解 (1)设Q(x,y),则·=-(x≠±), 化简得轨迹M的方程为+y2=1(x≠±). (2)由(1)知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-2, 代入椭圆方程得(m2+2)y2-4my+2=0, Δ=8(m2-2). 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=. 由=3得,y2=3y1. 由可得m2=4.经检验,满足Δ0. 不妨取m=2,设直线CD的方程为x=2y+n,代入椭圆方程得6y2+4ny+n2-2=0,Δ=8(6-n2), 设C(x3,y3),D(x4,y4), 则y3+y4=-n,y3y4=, 又由已知及Δ0,可得2n26. 又|x3-x4|=2|y3-y4|=, 则S四边形CEFD=|y3+y4||x3-x4|=≤×=, 当且仅当n2=3时等号成立. 所以四边形CEFD面积的最大值为. 2.[2015·江西师大附中、鹰潭一中联考]已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为M,N,|MN|=. (1)求抛物线E的方程; (2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且·=(其中O为坐标原点). 求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标; 过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点,求四边形AGBD面积的最小值. 解 (1)由已知得K,C(2,0). 设MN与x轴交于点R,由圆的对称性可知,|MR|=. 于是|CR|==, 所以|CK|===3,即2+=3,p=2,故抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明:设直线AB的方程为x=my+t,A、B, 联立得y2-4my-4t=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4t. 由·=得:+y1y2=y1y2=-18或y1y2=2(舍去), 即-4t=-18t=,所以直线AB过定点Q; 由得|AB|=|y2-y1|=·, 同理得,|GD|=|y2-y1|=·, 则四边形AGBD面积S=|AB|·|GD|=· =4 令m2+=μ(μ≥2),则S=4是关于μ的增函数, 故Smin=88.当且仅当m=±1时取到最小值88. 3.[2015·洛阳统考]设M是焦距为2的椭圆E:+=1(ab0)上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-. (1)求椭圆E的方程; (2)已知椭圆E:+=1(ab0)上点N(x0,y0)处切线方程为+=1.若P是直线x=2上任意一点,从P向椭圆E作切线,切点分别为C,D,求证直线CD恒过定点,并求出该定点坐标. 解 (1)由题意,2c=2,c=1,A(-a,0),B(a,0),设M(x,y), k1k2=-,·=-,即=-. M(x,y)在椭圆E上,+=1, =-,=,a2=2b2. 又a2-b2=c2=1,a2=2,b2=1. 椭圆E的方程为+y2=1. (2)证明:设切点坐标为C(x1,y1),D(x2,y2),P(2,t), 则切线方程分别为+y1y=1,+y2y=1. 两切线均过点P, +ty1=1,+ty2=1,即x1+ty1=1,x2+ty2=1, 直线CD的方程为x+ty=1. 对于任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,即直线CD恒过定点(1,0). 4.[2015·大连双基测试]已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q. (1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值; (2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,·=2,求抛物线C的方程. 解 (1)设直线l1的方程为:x=my+2,点A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程,得y2-2pmy-4p=0,y1+y2=2pm,y1·y2=-4p. k1+k2=+=+===0. (2)设点P(x0,y0),直线PA:y-y1=(x-x1),当x=-2时,yM=, 同理yN=. 因为·=2,所以4+yNyM=2,·=-2, =-2, =-2, p=,抛物线C的方程为y2=x. 5.[2015·贵阳监测]已知椭圆C的两个焦点是(0,-)和(0,),并且经过点,抛物线E的顶点在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F. (1)求椭圆C和抛物线E的标准方程; (2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的

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