圆锥曲线中的范围存在性和证明问题.docVIP

1.[2015·兰州双基过关]已知椭圆C1：＋＝1(ab0)的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r0)截得的弦长为2. (1)求椭圆C1的方程； (2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|＝|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由． 解　(1)直线l的方程为x－y＋2＝0， 令y＝0，得x＝－2，即F1(－2,0)， c＝2，又e＝＝，a2＝6，b2＝a2－c2＝2， 椭圆C1的方程为＋＝1. (2)圆心C2(3,3)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝＝， 又直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r0)截得的弦长为2， r＝＝＝2， 故圆C2的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 设圆C2上存在点P(x，y)，满足|PF1|＝|PF2|，即|PF1|＝3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)， 则＝3， 整理得2＋y2＝，它表示圆心是C，半径是的圆．|CC2|＝＝， 故有2－|CC2|2＋，故圆C与圆C2相交，有两个公共点． 圆C2上存在两个不同的点P，满足|PF1|＝|PF2|. 2.[2015·云南统测]已知曲线C的方程为＋＝4，经过点(－1,0)作斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，l与直线x＝－4交于点D，O是坐标原点． (1)若＋＝2，求k的值； (2)是否存在实数k，使AOB为锐角三角形？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由． 解　(1)由＋＝4得＋＝42. 曲线C是以F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆． 曲线C的方程为＋＝1，即3x2＋4y2＝12. 直线l经过点(－1,0)，斜率为k，直线l的方程为y＝k(x＋1)． 直线l与直线x＝－4交于点D，D(－4，－3k)． 设A(x1，kx1＋k)，B(x2，kx2＋k)． 由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， x1＋x2＝，x1x2＝. 由＋＝2得2x2－x1＝－4. 由2x2－x1＝－4和x1＋x2＝得x1＝，x2＝－. x1x2＝，×＝，化简得4k4－k2－5＝0， 解得k2＝或k2＝－10(舍去)． k2＝，解得k＝±. (2)由(1)知，A(x1，kx1＋k)、B(x2，kx2＋k)，x1＋x2＝，x1x2＝. ＝(x1，kx1＋k)，＝(x2，kx2＋k)， ·＝x1x2＋(kx1＋k)(kx2＋k) ＝(1＋k2)x1x2＋k2(x1＋x2)＋k2 ＝0， AOB. ∴不存在实数k，使AOB为锐角三角形. 3.[2015·甘肃诊断]已知双曲线C：－＝1(a0，b0)的一条渐近线为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1,0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切． 解　(1)依题意有＝，c－＝， a2＋b2＝c2，c＝2a，a＝1，c＝2，b2＝3， 双曲线C的方程为x2－＝1. (2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M， 由，得2x2－2mx－m2－3＝0， x1＋x2＝m，x1x2＝－， ·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1， m＝0(舍)或m＝2， x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1， ·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0， AD⊥AB， 过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径， M点的横坐标为1， MA⊥x轴， |MA|＝|BD|， 过A、B、D三点的圆与x轴相切. 4.[2015·南宁适应性测试(二)]已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N. (1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； (2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 解　(1)证法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0， x1＋x2＝. xN＝xM＝＝，N点的坐标为. 即抛物线在点N处的切线的斜率为k. 直线l：y＝kx＋2的斜率为k，切线平行于AB. 证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0， x1＋x2＝. xN＝xM＝＝，N点的坐标为. 设抛物线在点N处的切线l1的方程为y－＝m， 将y＝2x2代入上式得2x