圆锥曲线中的计算.docVIP

浅谈圆锥曲线中的一些化简方法 兴义中学 数学组 龚恒飞 圆锥曲线是历年来高考的重点，也是难点；而圆锥曲线在高考中主要的考察的是曲线的方程、性质，直线和曲线间的位置关系；在直线和圆锥曲线的位置关系中考得较多是相交关系，而我们解决这类问题主要的思想是“设而不求”，在这一过程中往往都要找出两根之和、两根之积，也即是韦达定理的应用，在运算过程中计算量较大，很多题目化简的过程较复杂而且容易出错，花费的时间较多。 为了简化这类化简过程我们可以将消元找两根之和两根之积的结果公式化。下面就以椭圆为例将推导结果公式化。 已知直线方程为与椭圆相交于两点，则。 由 消去y得： 同理消去x得： 我们把这两个结论作为“公式”，在涉及到直线和圆锥曲线相交的问题中求两根之和两根之积时可以直接应用，这样可以简化化简过程，同时也在很大程度上保证化简的准确性。其中A、B、C依次是直线中的x的系数、y的系数和常数项，a、b是椭圆的长半轴和短半轴的长，，，分别是所得一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项（消y）.在记忆这个“公式”时只需记住两根之和、两根之积即可，而化简过程不必记。得到两根之和、两根之积后反代回去就可得到消元后的一元二次方程。 例：设椭圆的左焦点为,左准线与x轴交于点N（-3,0），过点N且倾斜角为的直线 交椭圆于A、B两点，求证：点在以线段AB为直径的圆上。 解析：解决这类问题中我们常用的方法有两种，一是求出AB的长，求点和AB中点的连线段长等于AB长的一半；二是证明即可。在第一种方法中常常需要求解A、B的坐标。第二种方法可不去求解A、B坐标，应用两根之和、两根之积便可以求解，也就是我们常用的“设而不求”的思想。我们就以第二种方法为例熟悉“公式”。 解：由已知得的方程为：，椭圆方程为：设 联立方程组： 消去y得： 解法一： ∴即 故点在以线段AB为直径的圆上。 解法二： ∴即 故点在以线段AB为直径的圆上。 在本题的解答过程中都用到了两根之和、两根之积；在求解两根之和、两根之积时我们直接应用了“公式”，这样不仅简化了繁琐的运算过程同时也提高了计算的准确性，在一定程度上也节约了不少的时间，由此可见这个“公式”的应用在这类问题中是值得重视的。 该“公式”只是针对直线和椭圆相交时求解两根之和、两根之积；在圆锥曲线中还有直线和双曲线、抛物线相交问题我们也可以类似的推理出相应的“公式”。不仅如此还能推导出所要求的一元二次方程，判别式的相应“公式”；我们不难发现在很多的问题中都存在一些中重要的结论，只要我们通过证明后就可以作为公式来用，有了这些结论在今后的解题过程中可以简化很多繁琐的步骤，同时也可以在一定程度上提高了解题的速度，让一些复杂的问题变得更简单。