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对抛物线概念引入的教学思考 上海市松江二中 张忠旺 201600 抛物线概念的引入，常见的有两种方法，一是利用椭圆、双曲线的第二定义，通过对离心率e的分类讨论，引出e=1时动点的轨迹为抛物线；二是以实例作为背景直观感知，直接给出抛物线的定义[1][2]. 第一种引入方式有助于学生理解三种圆锥曲线的内在联系；第二种引入方式可以使学生更好地认识抛物线概念引入的必要性.由于在新课标教材中，已删去了圆锥曲线统一定义的内容，第一种引入方式就没有了基础，现在多以第二种方式引入.但这两种引入方式都忽视了对学生已有的认知结构中有关抛物线的认识——二次函数的图像.如果我作为学生不禁要问：现在学习的抛物线是初中已的二次函数图像让学生发现抛物线的定义——抛物线，请大家举出你所知道的抛物线的例子. 生：汽车前灯的轴截面，篮球的运行轨迹，二次函数的图像等. 师：我们知道二次函数的图像是抛物线，那么抛物线是如何形成的，即抛物线上点的运动规律是怎样的？抛物线的开口只有向上和向下两种情形吗？这节课我们就从二次函数出发来探究这两个问题. 由于一般的二次函数的图像可以看成由最简单的二次函数平移得到的，因此这两个函数图像形状相同，只是位置不同.下面我们就以二次函数为例，来研究抛物线上点的运动规律. 我们将解析式变形为，你能否把等式左边用两个完全平方式表示出来？ 生1：（1） 师：说说这一变形你是怎么想到的？ 生1：我是将拆成，然后构造的和与差的平方差. 师：还有其它拆分方法吗？ 生2：将拆成得 （2），还可以拆成 (3) 师：同学们拆分的很好，我们选取(3)式进行研究，将（3）移项变形得. 请你用几何语言叙述一下该等式的几何意义. 生：平面上，动点M（x,y）的距离与点M到直线的距离相等. 师：请你一般地概括一下抛物线的这一性质. 生：抛物线上的任意一点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等. 师：一般地，我们给出抛物线的定义如下：平面内与一个定点F和一条定直线（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 师：如果定点F在定直线l上，动点的轨迹是什么？ 生：过点F垂直于l的直线. 2.抛物线的标准方程 师：抛物线的焦点到准线的距离是,为了使方程形式更美观，我们设焦点到准线的距离是p,请你说出该抛物线的方程，焦点和准线. 生：当a0时，该抛物线方程可化为，这时焦点为F，准线为；当a0时，该抛物线方程可化为,焦点为F，准线为. 师：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么抛物线就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究的这个限制，从更一般意义上来研究抛物线． 请你写出与方程对应的抛物线关于直线y=x和直线y=-x对称的抛物线方程，并指出其焦点和准线. 生：关于直线y=x对称的抛物线方程为，焦点F，准线为.关于直线y=-x对称的抛物线方程为，焦点F，准线为. 师：我们将以上四个抛物线的方程都叫做抛物线的标准方程.(以下略) . 本设计从二次函数的图像入手，通过对二次函数的解析式进行恒等变形，得到抛物线上点的运动规律，揭示了抛物线的本质属性，自然地引出抛物线的定义，这是学生对抛物线由感性到理性不断深化的一个认识过程，也是学习“数学化”的过程.接着从变换的角度认识抛物线标准方程的四种形式，不仅丰富了抛物线的表示形式，也使学生理解了二次函数表示抛物线的局限性. 在平时的教学中我们只有深入了解学生，分析学生的数学现实，不迷信教材，从学生的最近发展区入手，才能构建符合学生认知规律的教学设计，使课堂教学入情入理、自然流畅、扎实有效. 参考文献： [1]高中二年级第二学期数学 [M] ， 63-67，上海教育出版社，2008. [2] 苏教版新课标高中数学选修1-1[M]，38-39，凤凰出版传媒集团 2