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《圆周运动中的临界问题》 一、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 R　绳 图　1 v0 v R 图　2 v O R　杆 图　3 ⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 　　　　　　　　v临界＝ eq \r(Rg)  ②能过最高点的条件：v≥ eq \r(Rg) ，当v＞ eq \r(Rg) 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。 ⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg ②当0＜v＜ eq \r(Rg) 时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小 ③当v＝ eq \r(Rg) 时，N＝0 ④当v＞ eq \r(Rg) ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大 b O a 图　4 例1　如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是　（　　） A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力 C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力 分析：答案A是正确的，只要小球在最高点b的速度大于 eq \r(gL) ，其中L是杆的长；答案B也是正确的，此时小球的速度有0＜v＜ eq \r(gL) ；答案C、D肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。 A L O m 图　5 例2　 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到　　　　（　　） A、6.0N的拉力 B、6.0N的压力 C、24N的拉力 D、24N的压力 解法：小球在A点的速度大于 eq \r(gL) 时，杆受到拉力，小于 eq \r(gL) 时，杆受压力。 V0= eq \r(gL) ＝ eq \r(10×0.5) m／s＝ eq \r(5) m／s 由于v＝2.0 m／s＜ eq \r(5) m／s，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。 小球受重力mg和细杆的支持力N 由牛顿第二定律　mg－N＝m  eq \f(v2,L)  N＝mg－m  eq \f(v2,L) ＝6.0N　　　　　　故应选　B。 例3　长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当A的速率v1＝1m／s时 ②当A的速率v2＝4m／s时 解法一：（同上例）　小球的速度大于 eq \r(5) m／s时受拉力，小于 eq \r(5) m／s时受压力。 N mg ①当v1＝1m／s＜ eq \r(5) m／s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N 由牛顿第二定律　mg－N＝m  eq \f(v2,L)  　　　　　　　　　N＝mg－m  eq \f(v2,L) ＝16N 　即杆受小球的压力16N。 mg F ②当v2＝4m／s＞ eq \r(5) m／s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F 　由牛顿第二定律　mg＋F＝m  eq \f(v2,L)  　　　　　　　　　F＝m  eq \f(v2,L) －mg＝44N 即杆受小球的拉力44N。 解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。 　　　　 由牛顿第二定律　　　mg＋F＝m  eq \f(v2,L)  　　　　 得到　　　　　　　　F＝m（ eq \f(v2,L) －g） 当v1＝1m／s时，F1＝－16N　　F1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。 当v2＝4m／s时，F2＝44N。　　F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。 例4 如图所示，被长L的轻杆连接的小球A能绕固定点O在竖直平面内作圆周运动，O点竖直高度为h，如杆受到的拉力等于小球所受重力的5倍时，就会断裂，则当小球运动的角速度为多大时，杆恰好断裂?小球飞出后，落地点与O点的水平距离是多少? 例5．如图所示，长为L