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圆周运动中的临界问题 一、水平面内圆周运动的临界问题 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题 例1 如图1示，两绳系一质量为的小球， 上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为 与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧， 当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？ 解析：（1）当角速度很小时，和与轴的夹角都很小，并不张紧。当逐渐增大到时，才被拉直（这是一个临界状态），但绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为， 则有： 将已知条件代入上式解得　 （2）当角速度继续增大时减小，增大。设角速度达到时，（这又是一个临界状态）， 则有： 将已知条件代入上式解得　 所以当满足 ，两绳始终张紧。 本题所给条件，说明此时两绳拉力都存在。 则有： 将数据代入上面两式解得　，　 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。 如果时，，与轴的夹角小于。 如果时，，与轴的夹角大于。 2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为的物体，的中心与圆孔距离为， 并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件可让处于静止状态。（） 解析：由分析可知，如果平面不转动，会被拉向圆孔，即不能处于静止状态。当平面转动的角速度较小时，与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势，此时水平面对的静摩擦力方向背向圆心，根据牛顿第二定律， 对于有：，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此时的角速度是最小的临界角速度，； 当平面转动的角速度较大时，与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋势，此时水平面对的静摩擦力方向指向圆心，根据牛顿第二定律， 对于有：，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐增大，当静摩擦力增大到最大值时，角速度增大到最大，即当静摩擦力指向圆心且最大，此时的角速度是最大的临界角速度，。 故要让保持静止状态，平面转动的角速度满足： 3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题 例3 如图3所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，一条长为的轻绳一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为的小物体（物体可看作质点），物体以速率绕圆锥体的轴线做水平面内的匀速圆周运动。 （1）当时，求绳对物体的拉力； （2）当时，绳对物体的拉力又是多少。 解析：物体在光滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动，通常情况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力，正交分解各个力。 水平方向： ① 竖直方向： ② 由①②得 ③ 由③式可以看出，当一定时，越大，越小，当线速度增大到某一个值时，能使，此时物体与锥面接触又恰好没有相互作用，那么就是锥面对物体有无支持力的临界速度，令③式等于零，得 （1）因为，物体在锥面上且锥面对物体有支持力，联立①②两式得 （2）因为，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为，物体仅受重力和拉力的作用，这时有 ④ ⑤ 由④⑤两式得， 二、竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点 如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。 临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。 （1） （刚好到最高点，轻绳无拉力） （2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球， 绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整 的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（） 解析：题目中给出了两个条件，首先要让小球能够做完整的圆周运动，这个条件的实质是要求小球能够过最高点，这是无支撑的类型，小球过最高点的临界条件是重力提供向心力，此时绳子没有拉力的作用，即，，再从最高