数值分析1。数值分析课程介绍.pptVIP

* 课程介绍 计算误差概念 浮点数与有效数字 算术运算的误差估计 参考文献 《数值分析》1 为解决大规模数值计算人类研制出电子计算机 数值分析——研究用计算机求解数学问题的方法和理论 非线性方程求根、线性代数方程组求解、 数据插值、数据拟合、数值积分、求微分 方程数值解 冯·诺依曼教授提出计算机体系结构 计算机技术发展的同时人类计算能力受到新的挑战 2/18 求2的平方根算法 x1=1.5, xn+1=0.5(xn+2/xn) (n = 1,2,·····) 算法的两个主要指标:效率与精确性 1.416666666666667 1.414215686274510 1.414213562374690 1.414213562373095 1.414213562373095 三种常用的技术: 求未知数据的迭代计算技术 连续模型离散化处理技术 离散数据的连续化处理技术 3/18 通信卫星覆盖地球面积 数学模型 实际问题 获取数据 数值方法、程序 数据结果 将地球考虑成 一个球体, 设 R为地球半 径,h为卫星高 度,D为覆盖面 在平面的投影 4/18 模型误差: 建立数学模型时所引起的误差； 误差分类： 舍入误差:计算机表示的数的位数有限，通常用四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差. 截断误差:求解数学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差 观测误差:测量工具的限制或在数据的获取时随机因素所引起的物理量的误差； 5/18 假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称 而称 为 x 的相对误差 误差的有关概念 e(x)= x - x* 为 x 的绝对误差 6/18 如果存在一个适当小的正数ε ，使得 则称ε为绝对误差限。 称εr为相对误差限。 如果存在一个适当小的正数εr ，使得 7/18 数的浮点表示 一台微机价格:￥4999.00, 浮点数表示:0.4999×104 地球半径: 6378137m, (6.378137e+006) 浮点数表示: 0.6378137×107 光速: 2+008 浮点数表示: 0.299792458×109 尾数部 阶码部 8/18 有效数字概念: 取? 的有限位数如下(? ≈3.1415926) 取 x1 = 3，误差限不超过0.5; 取 x2 = 3.14,误差限不超过0.005 ; 若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x 有 n 位有效数字. 取 x3 = 3.1416,误差限不超过0.00005 ; 9/18 一个有n 位有效数字的数 绝对误差限满足： 相对误差限满足： 10/18 例1 已知√30 的十进制浮点数第一位是5，要使近似值的相对误差限小于0.1%，问浮点数的有效数字的位数至少应该为多少？ 解: a1=5,利用不等式 所以,浮点数的有效数字位数至少应取3位 取n≥3,有 |er(x)|≤10-3 11/18 其中,正负号占2个位,尾数占52个位,阶码占10个位. log10252 ≈15.65; 21023≈ 8.9885×10307 尾数 阶码 对应十进制数字长约15,最大数约10308 双精度机器数占用64个二进制位 12/18 13/18 例2.圆面积计算的误差估计 圆面积计算公式: 全微分近似: 取 r = 50 cm, 则有 cm ≈2×1%=2% ≈150 cm2, 反问题:估计