模型解的分析与检验.pptVIP

3.6 模型解的分析和检验 1.???? 量纲一致性检验； 2.???? 假设的合理性检验； 3.???? 对模型参数的灵敏度分析； 4.???模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等； 5.???? 参数或变量的临界值；…… * * 始于现实世界并终于现实世界 数学建模工作 最终要得到现实问题的解答 求出模型的数学解以后， 必须对解的意义进行分析、检验 需讨论以下类似问题： 1. 这个解说明了什么问题？ 2. 是否达到了建模的目的？ 3. 模型的适用范围怎样？ 例3.6.1《格列佛游记》中小人国的小人们为 估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了 一个数学模型. 4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有 原理性错误、常识性错误？…… W= a H3 W是人的体重，H 是人的身高. 检验： 先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，重约3千克,代入模型得 得模型为 W=24H3 这是一个适用于肥胖人群的体重－身高模型, 据此可计算得 身高为1.5米的儿童体重为 W(1.5)=81(千克)； 身高为2米的运动员体重为 W(2)=192(千克). 检验模型是数学建模工作的重要环节 例3.6.2 将一块石头扔进洞中估计洞的深度. 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间 t 和洞深 h 的关系模型： 用到假设： k为比例系数. 分析检验 1. 检查模型的量纲是否正确? *1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比; *2 阻力产生的加速度也和速度正比. 根据比例系数 k 的定义有 LT－2=[k]LT－1 [k]=T－1 注意到exp(－kt)是无量纲量，可验证模型的 量纲正确. 2. 检验模型是否与物理定律相符? 若忽略空气阻力（即k=0）, 应有 h=0.5 gt2 验证模型是否与此物理定律相符. 能否将 k=0 代入模型 ？ 参见讲义p59. 3. 参数的灵敏度分析 取参数 k 的值为0.05(克/秒),可算得 即, 若回声在4 秒听到，模型测算出洞深73.50米. 又若参数k 有微小变化，测算值会怎样变化？ 令 k=0.045, 参数的相对变化幅度为 ︱0.045－0.05︱/0.05=10%， 计算得 h2=h(4)≈73.98，洞深预测值相对 变化幅度为 ？ （73.5－73.89）/73.5＜1%. 说明模型对空气阻力比例系数k 不敏感,即对 洞深预测影响不大,可忽略空气阻力. 4. 进一步分析空气的影响 若完全忽略空气的影响, 有 h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)， 绝对误差为 78.48－73.50≈5(米)， ？ 结果分析 说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响. 模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音 能立即听到. 相对误差为 （78.48－73.50）/73.50≈7%， 未考虑声音在空气中的传播速度. 传播速度大约为330米／秒 , 则石头着地声音 的传播时间大约为 取修正时间为 t = 4－0.223= 3.777（秒） 可得 h(3.777)≈65.77(米) 结论 声速的影响远甚于空气阻力的影响. 通过对模型的分析、检验，发现由于模型假设不合理, 考虑因素不合适,造成模型不合理. 需重新进行问题的前期分析工作 h／330≈73.5／330≈0.223（秒） 模型与模型解的分析与检验，通常需要做 以下几类工作：