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yfnie@nwpu.edu.cn 数 值 分 析 教 材： 数值分析讲义 主讲人： 聂 玉 峰 联系方式：yfnie@nwpu.edu.cn 参考资料 课后习题以及往年考题参考解答 欧阳 聂 车 王 第四周周三下午3:00~5:00 毅字楼529室 王镇海老师 数值分析典型题解析及自测题 车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁 西北工业大学出版社 数值分析导教导学导考 封建湖，聂玉峰，王振海 西北工业大学出版社 课堂要求 请您关机或将手机置于震动状态； 请您课堂上不要讨论； 上课期间，不明白可随时提问。 有问题时不需站起来，不需举手，只需大声 第一章 绪 论 学习要点 1 算法的概念、可靠性以及优劣评判 2 误差的度量以及传播 3 算法设计应注意的问题 数值分析（计算方法） 随着计算机的发展而形成的新兴学科，是数学、计算机科学以及其它学科交叉的产物； 所涉及的计算问题主要来源于科学研究和工程设计 （科学计算） 计算数学、 计算物理、计算化学、计算力学、计算材料学、计算生物学…… 专门研究如何利用计算机有效求解各类计算问题的有关方法、理论 一、科学与工程计算过程介绍 建立数学模型 数学模型的适定性分析 数学模型的求解算法设计 数学模型的近似 近似问题的求解 编写程序得到计算结果 计算结果的可视化处理以及分析 1.1 由具体问题建立数学模型 辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设下，运用相关数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的依赖关系 ，即得到数学模型。 人口增长模型 热传导模型 粘性流动模型 应力应变间的本构关系 1.2 数学模型分析 数学模型解的存在性 模型内部有没有蕴含矛盾？ 数学模型解的惟一性 模型完备吗？条件缺失吗？ 解对相关数据的连续依赖性分析 模型的适定性分析 1.3 数学模型的求解 分析解 数值问题 关于有限个输入数据（参数、自变量数据）与有限个输出数据（待求解量）之间关系的问题。 将数学模型转化为数值问题 由于近似而产生误差（有限过程代替无限过程，简单代替复杂，等） 近似问题和原问题的一致性 Example 1.3 数学模型的求解 （续1） 设计高效可靠的算法求解数值问题－核心任务 算法定义：从程序设计的角度来讲，算法是由一个或多个进程组成； 进程：明确无歧义地描述由操作及操作对象合成的按一定顺序执行的有限序列； 所有进程能够同时执行并且协调地在有限个操作步内完成一个给定问题的求解。 操作：计算机能够完成的算术运算（加减乘除）、逻辑运算、字符运算等。 1.3 数学模型的求解 （续2） 算法分类 分类方法方法1：从进程个数的数目看，可分为串行算法(一个进程)，并行算法(多个进程)。 分类方法方法2：从算法实现所花费的时间角度来看，可分为为数值型算法和非数值型算法 本课程介绍串行数值算法 1.3 数学模型的求解 （续3） 算法的可靠性 算法的收敛性、误差估计、稳定性等; 一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的 算法优劣评价 可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护） 1.3 数学模型的求解 （续4） 鉴于实际问题的复杂性，需将其具体地分解为一系列子问题进行研究，然后用之搭建实际问题的求解器。 一些特殊数值问题的求解算法（本课程内容） 非线性方程、线性方程组求解 函数的插值和逼近 数值积分和数值微分 常微分方程数值解 代数特征值问题 ………… 1.3 数学模型的求解 （续4） 已有算法的应用状态 数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica、Mathcad等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果 由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 科学与工程计算过程小结 由实际问题建立数学模型，对数学模型进行近似并设计设计可靠、高效的算法，程序设计、上机实践计算结果，计算结果的可视化以及计算结果分析 在具体问题的求解设计过程中，上述步骤形成一个环。 科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、科学实验并列的科学研究三大基本手段之一。 数值问题举例 有限过程代替无穷过程 数值问题举例 * *