旅行商问题的求解方法(动态规划法和贪心法)算法论文-本科毕设论文.doc

旅行商问题的求解方法 摘要 旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。 关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法 1引言 旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。 2正文 2.1蛮力法 2.1.1蛮力法的设计思想 蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。 2.1.2算法讨论 用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。如对于图1，我们求解过程如下： 路径：1-2-3-4-1；路径长度：18； 路径：1-2-4-3-1；路径长度：11； 路径：1-3-2-4-1；路径长度：23； 路径：1-3-4-2-1；路径长度：11； 路径：1-4-2-3-1；路径长度：18； 路径：1-4-3-2-1；路径长度：18； 从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。 我们还应注意到，图1中，有3对不同的路径，对每对路径来说，不同只是路径的方向，因此，可以将这个数量减半，则可能的解有（n-1）！/2个。这是一个非常大的数，随着n的增长，TSP问题的可能解也在迅速增长。如： 一个10城市的TSP问题有大约有180,000个可能解。一个20城市的TSP问题有大约有60,000,000,000,000,000个可能解。 一个50城市的TSP问题有大约1062个可能解，而一个行星上也只有1021升水。因此，我们可以知道用蛮力法求解TSP问题，只能解决问题规模很小的实例。 2.2动态规划法 2.2.1动态规划法的设计思想 动态规划法将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，一般来说，子问题的重叠关系表现在对给定问题求解的递推关系（也就是动态规划函数）中，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解，从而避免了大量重复计算。 2.2.2TSP问题的动态规划函数 假设从顶点i出发，令表示从顶点i出发经过中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径长度，开始时，，于是，TSP问题的动态规划函数为： 2.2.3算法讨论 （1）for (i=1; iN; i++) //初始化第0列 d[i][0]=c[i][0]; （2）for (j=1; j -1; j++) for (i=1; in; i++) //依次进行第i次迭代 if (子集V[j]中不包含i) 对V[j]中的每个元素k，计算V[m] == V[j]-k; d[i][j]=min(c[i][k]+d[k][m]); （3）对V[ -1]中的每一个元素k，计算V[m] == V[ -1]-k; d[0][ -1]=min(c[0][k]+d[k][m]); （4）输出最短路径长度d[0][ -1]; 2.3.4时间复杂性 和蛮力法相比，动态规划法求解TSP问题，把原来的时间复杂性是O(n!)的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂性，但它仍需要指数时间。 2.3贪心法 2.3.1贪心法的设计思想 贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。换言之，贪心法并不是从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优。这种局部最优选择并不总能获得整体最优解，但通常能获得近似