035等差数列及其前n项和(复习设计)(师).docVIP

专题035：等差数列及其前n项和1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用． 掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等． ．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法． 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，mN*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，qN*)．特别地，当m＋n＝2p时，___ am＋an＝2ap ___________.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． ()S2n－1＝(2n－1)an. ()若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 5．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，nN*)都成立； (3)通项公式法：验证an＝pn＋q； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn. 注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列． ．已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 自测 1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　)． A．4 B．5 C．6 D．7 解析　a2＋a8＝2a5，a5＝6.答案　C 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)． A．31 B．32 C．33 D．34 解析　由已知可得解得S8＝8a1＋d＝32.答案　B 3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝(　　)． A．1 B．9 C．10 D．55 解析　由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案　A 4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)． A．13 B．35 C．49 D．63 解析　a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，S7＝＝49.答案　C 5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 解析　设公差为d.则a5－a2＝3d＝6，a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案　13　　例1(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 第(1)问，求公差d； 第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn＝＝2n－n2. 进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又kN*，故k＝7为所求． 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法． (2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 解析　设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，由可得d＝，a1