03椭圆的几何性质.docVIP

椭圆的几何性质 　 一、教学目标 ()知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． ()能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． ()学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析 1 (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 ()复习提问 1．椭圆的定义是什么？ 2．椭圆的标准方程是什么？ 学生口述，教师板书． ()几何性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是 b0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． 1．范围 即|x|a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点． 2．对称性 先请大家阅读课本椭圆的几何性质2 设问：为什么“把x-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？ 事实上，在曲线的方程里，如果把x-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题． 同时向学生指出：如果曲线具有关于yx轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称． 事实上，设P(xy)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称． 最后指出：xy轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心． 3．顶点 只须令x=0y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)． 教师还需指出： (1)A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； (2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； 这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形． 4 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e 先分析椭圆的离心率e ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1． 再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响： (2)e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； (3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了． (三)应用 为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1 例1　 16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是： (2)(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少． 本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解： 设dM到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M 将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 这是椭圆的标准方程，所以点M 由此例不难归纳出椭圆的第二定义． ()椭圆的第二定义 1．定义 平面内点M 线叫做椭圆的准线，常数e 2．说明 这时还要讲清e (五)小结 解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布