05级微积分(下)综合运用练习答案.docVIP

《微积分》期末考试综合题参考答案 一．设，证明：条件收敛 证明：（1）设则因此在 单调增加。故：即 又显然因此由莱布尼兹定理知收敛。 （2）再考察 因为 故发散。 综合（1）、（2）知：条件收敛。 二．设在的某一邻域内具有二阶连续导数，且。证明：级数绝对收敛。 证明：因为在处具有二阶连续导数，且，根据可导必连续，有： =0，。 麦克劳林展式：对，， （。 因此，，因此， 所以，且收敛，所以，绝对收敛。 三．已知满足为正整数）。且求级数 之和。 解：（1）解一阶线性微分方程，得其通解： ，代入初始条件得故。 （2）原级数即为 令。当时，由逐项求导公式，有： ， 故 所以，。 四．设求 解：（1） （兜圈子），故，， 。 （2）令当时，由逐项求导公式，有： ， 故 故： 五．已知函数的全微分并且求在椭圆域上的最值。 解：（1）由得： 又故 所以， （2）下面求在椭圆域上的最值。 （i）令，得驻点， （ii）在椭圆上，由椭圆的参数方程：， 。 所以，， 综合(i),(ii)知，，。 六．在椭球面上求一点，使得沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值。 解：（1）记，则沿椭球面上任意一点处的方向导数为 。 （2）问题转化为求函数在条件下的极值，下用拉格朗日乘数法解之。 令 由 解上述方程组，得：或因此有两个驻点及 （3）因为，所以，椭球面上点处沿着A(1,1,1)到B(2,0,1)的方向导数具有最大值。 七．证明：曲面上任意一点处的切平面与曲面所围成的立体体积为定值。 证明：（1）令，则曲面上任意一点处的切平面的法向量为：， 从而点M处的切平面方程为： ，化简得： 。 （2）联立，消去z，得立体向xoy面上的投影区域 因此，所求立体的体积为 注意：上述计算二重积分的过程中，其实用到了变量替换公式：令则 八。设在上连续， 试证明： 证明： 其中，视为常数），所以， （交换积分次序后） （最后一步是利用积分与变量记号无关）。 九．设在上连续且单增，记 试证明 证明：记 ----（1） 由轮换对称性，易知： ----------------（2） 所以，（因单增，故无论均有即， 十．证明： 证明：一方面： 另一方面： 注意：后一不等式用到了：当 十一。设L是圆周取逆时针方向，又是正值连续函数，试证： 证明：由格林公式：记 ----（1） 又由轮换对称性：---（2），代入（1）式，得： 十二。设曲线积分与路径无关，且方程所确定的曲线的图形过点。其中是可微函数，求所确定的曲线。 解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以， 即： （2）解此可分离变量型微分方程 得其通解： 又曲线的图形过点，所以，因此所求曲线为： 十三。设在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并且对任意的t，恒有求函数。 解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以 ，故：----（1） （思考一下，为什么此积分后带的不是任意常数C,而是？） （2）又因为，代入（1）式： ---（2） 选择平行于坐标轴的折线路径积分分别以定积分表示出左、右两曲线积分，得： ，即 ----（3） （3）式两边同时对t求导，得： ，所以。 十四。设曲线与x轴交于点O(0,0),A(2,0).曲线在A点处的切线交y轴于B点积分，试计算 解：（1）由，，故曲线在A点处的切线方程为： ，其与y轴于B（0,4）. （2）记，因为 补充直线段，记由所围成的平面区域为，则 。 所以， 十五。设函数具有连续导数，试计算 ，其中为点与点的直线段下方的任意光滑曲线，且该曲线与直线段所围成的面积为 解：记，则 因为----（1） 易知 又 ， ------（2） ------（3） 注意到：划线部分可互相抵消： 所以， 十六。设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对于任意都有。试证明：