09-6-3两个互素因子链上幂GCD与幂LCM矩阵及其行列式的整除性.docVIP

两个互素因子链上幂GCD与幂LCM矩阵及其行列式的整除性 谭千蓉1，刘浏2，林宗兵1 1. 攀枝花学院计算机学院 攀枝花 617000；中国 2. 四川文理学院数学与财经系, 达州 635000；中国 E-mail: tqrmei6@126.com 摘要 本文证明了如下结论：设是正整数，S由两个互素因子链构成，在整数矩阵环中，若以及且 不同时为整数时，有, ,；若且不同时为整数时有，，和，， .这些结果推广了Hong[22],Tan[36]的研究范围。 AMS Classi cation: 11C20; 11A05; 15A36 Keywords: Divisibility; Coprime divisor chains; Greatest-type divisor; Power GCD matrix; Power LCM matrix 1. Introduction 设和是正整数，是一个由个不同的正整数组成的集合，如果对任意的，均有，的最大公因子，我们称为最大公因子（gcd）封闭集。如果，的最小公倍数，，我们称为最小公倍数(lcm)封闭集。如果一个阶矩阵的第行列元素是中的元素，的最大公因子的次幂，我们称这个矩阵是定义在上的次幂GCD矩阵，用表示；第行列元素是中元素，的最小公倍数的次幂，则称这个矩阵是定义在上的次幂LCM矩阵，用表示。如果，那么它们被简单地称作定义在上的GCD矩阵和LCM矩阵，分别用和表示．如果，的全部因素都属于。则称集合是因子封闭集（FC）。显然FC集是gcd封闭的，但反之不然。对GCD矩阵的研究始于Smith [35]，在1875年，他公开发表了他的著名定理：当时，矩阵的行列式，其中是Euler函数。自那时以来，有许多与Smith的行列式相关的研究结果公开发表（参看例子[1-34, 36-38]）。幂LCM矩阵的非奇异性也被许多作者广泛研究，参看[8, 14,18-21, 28，30,32]）。 在幂GCD矩阵和幂LCM矩阵的研究领域中，整除问题是中心研究课题之一。Bourque和Ligh[4]证得了如下结果：如果是FC集，则在阶整数矩阵环中，GCD矩阵整除LCM矩阵。即存在一个，使得，或者。 Hong [16]证明了如果是封闭集，那么这样的分解不再正确。Bourque和Ligh [7]推广了他们自己的结果：如果是因子封闭集，那么在整数矩阵环上。 如果存在上的一个置换使得，则集合被称作因子链．显然因子链是封闭的，但反之不然。由洪绍方（Hong）[22]率先开始了幂GCD矩阵之间的整除性和幂LCM矩阵之间的整除性研究。事实上，Hong[22]证明了：如果，且集合是一个因子链，那么幂GCD矩阵整除幂GCD矩阵；幂LCM矩阵整除幂LCM矩阵。但是如果，以及，那么此结论不成立。这里分别用，表示集合的基数和中所有元素的最大公因子。当是因子封闭和倍数封闭集时，Bhowmik和Hong [3]建立了类似的整除理论。 我们称包含两个互素因子链，如果并且可以划分成，这里和是因子链，并且中的每个元素与中的每个元素互素。Tan[36]研究了包含两个互素因子链，且（即为gcd封闭集）时幂矩阵的整除性，本文将研究为由两个互素因子链构成的一般情形，即不再是gcd封闭集时幂GCD与幂LCM矩阵及其行列式的整除性。我们发现行列式的整除并不能推出矩阵的整除。 以上结果推广了Hong[22],Tan[36]的研究范围。 因为在[22]和[31]中，对上的任意置换，定义了。易证得，这里是第行等于的置换矩阵。有如下等价关系： 类似我们有 因此在讨论矩阵整除时，在必要的情况下可以对的元素进行重新排列。 本文以 表示整除，以表示不整除。 2. 幂GCD矩阵之间的整除性 引理2.1 设， (*) 这里是正整数，，那么有如下结论成立： (i), (ii) 证明：因为为正整数，对使用数学归纳法。 （i）因为，所以 当时，有，则 因此当时结论成立。 假设时结论成立，即 成立。 那么当时， 所以当时等式成立． 综合以上步骤得结论成立． (ii) 将（i）式中的，分别替换成、即可得证。 引理2.1证毕。 引理2.2 对于任意的正整数，当，若且至少有一个大于1，则不可能同时是整数。 证明：由对称性不妨假设。为了简便，记，。 （1）当时，，，故不是正整数，所以不可能同时是正整数。 （2）当时，，又由和，可得且，得，故不是正整数，所以不可能同时是正整数。 （3）当时，可设，。假设同时为正整数。则由可得，同理可得。此时 显然，所以。又因为，故，这样便得到矛盾的结论。所以不可能同时为正整数。故当且时，不可能同时是整数 综合（1）、（2）、（3）得当时，不可能同时是整数。 引理2.2得证。 定理