1.4.1退化循环和防止循环的方法.docVIP

1.5 退化、循环和防止循环的方法 1.5.1 退化和退化引起的循环 前面曾定义过退化问题(定义1.6)。对于退化问题，可能引起迭代循环现象，相应的迭代叫做退化迭代。下面用例子来说明退化引起的循环现象。 例1.13 求解下列线性规划问题 标准后用单纯形表法求解如下 10 -57 -9 -24 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (1/2) 1/2 1 -11/2 -3/2 0 -5/2 -1/2 0 9 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 10 -57 -9 -24 0 0 0 10 0 0 0 0 1 1 0 0 -11 （4） 11 -5 2 5 18 -8 -18 2 -1 -2 0 1 0 0 0 1 - 0 - 0 0 53 41 -204 -20 0 0 10 -57 -9 -24 0 0 0 10 -57 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 (1/2) 1/2 -1/2 -4 -2 4 -3/4 -1/4 3/4 11/4 1/4 -11/4 0 0 1 0 0 - 0 0 0 29/2 -98 -27/4 -53/4 0 -9 -57 0 0 0 1 2 -1 1 0 1 0 1 0 0 -8 (2) 0 -3/2 1/2 0 11/2 -5/2 0 0 0 1 - 0 - 0 -29 0 0 18 15 -93 0 最后两步迭代的单纯形表如下: 10 -57 -9 -24 0 0 0 0 -24 0 0 0 1 -4 1/2 1 8 -3/2 0 2 -1/2 0 0 1 0 1 0 0 -9 (1) 0 0 0 1 - 0 - 0 22 -93 -21 0 0 24 0 0 0 0 0 0 1 (1/2) 1/2 1 -11/2 -3/2 0 -5/2 -1/2 0 9 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 10 -57 -9 -24 0 0 0 发现第六次迭代的结果与初始的一致，循环发生了。从上例可看出，采用单纯形法求解退化问题可能发生循环现象，这会使得计算机死机。退化迭代有如下特点： 退化迭代中基在不断变化，但基本可行解不变； 退化迭代中目标函数值不变； 退化迭代可能发生循环现象。 那么退化问题是怎样发生的呢？ 1.5.2 防止循环的方法 退化现象很难避免，我们只有设法避免循环的发生。 摄动法在编程方面存在困难，Bland法则可操作性强。对于例1.13,前五次换基都符合Bland法则，第六次换基时，仍采用最大检验数法则，取入基，这违反了Bland法则第一条。若根据Bland法则，从第六次换基开始的单纯形表如下： 10 -57 -9 -24 0 0 0 0 -24 0 0 0 1 -4 (1/2) 1 8 -3/2 0 2 -1/2 0 0 1 0 1 0 0 -9 1 0 0 0 1 - 0 1 0 22 -93 -21 0 0 24 0 0 10 0 0 0 1 0 1 0 -4 -3 3 -2 -1 (1) 8 2 -2 1 0 0 -1 2 -2 0 0 1 - - 1 0 0 -27 1 -44 0 -20 0 0 10 -9 2 1 1 0 1 0 2 0 3 0 0 1 4 0 -2 1 0 0 -5 0 -2 2 1 1 1 0 -30 0 -42 0 -18 -1 用Bland法则能保证避免发生循环，上例只再进行一次迭代就求得了最优解 最优目标函数值z*=1。 这里我们不但避免了循环，求得了最优解，而且最优基本可行解是非退化的，尽管本问题是退化问题。 习题 1.6(2) p51用Bland法则求解。 2 防止循环的方法 1.摄动法 在各约束条件右手边加上不同的微小摄动项，避免产生退化的顶点。 2.Bland法则 a.换入基变量时，取入基，其中； b.换出基变量时，若有多于一个的最小比值，则取下标最小者出基。