1.5三角形全等的判定(含答案).docVIP

1.5 三角形全等的判定 专题一 利用全等探究线段数量关系1. 如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论． 2. 如图，已知AB＝DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F. ⑴根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明． ⑵EF平分∠DEC吗？为什么？ 3. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2． 4. （1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 课时笔记 【知识要点】 1. 全等三角形的判定 三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）． 2. 三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 3. 线段的垂直平分线的概念与性质 概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 4. 角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 【温馨提示】线段的垂直平分线是一条直线，不是射线也不是线段.写出所需的三组条件，并用大括号括在一起，注意对应位置 书写证明过程要注意格式，即：①准备条件：把题中没有直接的条件证明出来；②指明范围：在哪两个三角形中；③摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的条件按顺序摆好；④得出结论：得出三角形全等的纵论．【方法技巧】 2. 要充分挖掘隐含条件，如公共边，当公共边是对应边时，它们是相等的． 需要抓住图形特征，有时需运用等式的性质创造对应边相等的条件，从而证两三角形全等．[来源:Z#xx#k.Com]1. 解：PCPD． 证明：如图，作PE⊥OC于E，PF⊥OB于F． 可得∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF． 又∵∠CPE＋∠EPD=∠FPD＋∠EPD=90°， ∴∠EPC =∠FPD．∴△CPE≌△DPF（ASA）． ∴PC=PD． 解：⑴可以直接证明△ABC≌△DC．∵AB＝DC，AC＝BD，BC=CB，[来源:学科网]∴△ABC≌△DCB． ⑵∵△ABC≌△DC，∴∠ACB =∠DBC．又∵EF∥BC，∴∠ACB =∠FEC，∴∠DBC =∠DEF，即∠FEC =∠DEF．∴EF平分∠DEC． 证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD在△DBH和△DCA中 ∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC． （2）连接CG， ∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=°?∠ABC=45°=∠ABC，∴DB=CD∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC∴BG=CG.∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2． 解：（1）AF=BD证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）同理知，DC=CF，∠DCF=60°∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD