2010年高数(下)综合复习题解答.docVIP

1. 设z=artan+ln(x2+y),求dz。 解. 其中 , 2. 。 3. 设Z=(x2y,)有二阶连续偏导数，求 解. 4. 求函数(x,y,z)=xy2+yz3在点（1，2，1）处沿着向量={1,2,5}的方向导数. 解. 5. 求球面x2+y2+z2=9/4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。 解. 当时， 设对应的切线的切向量为 满足方程： 解得： ∴过的切线方程：, 法平面方程 类似可求处的切线，法平面方程。(略) 6. 求旋转椭球面x2+y2+=1在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。 解. 设所求点为,则过P的切平面方程为： ： 切平面在三个坐标轴上的截距分别为: 目标函数 条件(约束)： 令： 解方程组 解得， ∴，，所求点为. 7. 更换积分顺序： （1）I=； （2）I= （1）如图示(图略,下同) (2)如图 8. 计算二重积分I=D：以（0，0），（1，1）和（0，1）为顶点的三角形区域。 9. 将三重积分I=分别用直角坐标、极坐标、球面坐标化为累次积分，其中Ω：x2+y2+z2≤4,z≥。 积分立体在yoz平面上的投影如图示(图略)。曲面和的交线（消z）在（柱面）上： ∴ 在xoy平面上的投影区域为 ∴ I= 10. 已知三次积分:I= 积分立体在xoy面和yoz面的投影区域，如图示 （1） （2） 11. 计算I=，C是以O（0，0）、A（1，0）、B（0，1）为顶点的三角回路。 12. 用几种不同的方法计算I=，其中C为上半圆周：,起点O（0,0），终点A（2,0）。 注意：C为上半圆周：。起点O（0,0），终点A（2,0） (直接计算法)公式：设C的参数方程且起点、终点对应的参数值分别为，则： 法1 利用C的坐标方程：，可写出C的参数方程。 法2： 计算略 法3：计算略 间接计算法 格林公式： 注1：当沿着C的正向行进时，区域D在“行者”的左手，取“+”。 注2：当C不是闭曲线时，需增加辅助路径；通常选平行于坐标轴的直线段为辅助路径。 法4： 本题中由于因而还可选择以下的间接计算法． 准备知识：单连通区域D上有一阶连续偏导数，以下四个结论等价： 　　（１） （２） （３）的值与路径无关（只与起、终点有关）。 （４）存在，使 且 法5 可设，使 且 则 13. 计算I=，其中C是摆线且参数增加的方向为积分路径的方向。 如图 增加辅助路径： 则： 14. 计算I=，其中C是以（1，0）为中心，R为半径的圆周（R1），方向取逆时针方向。 注R = 1圆周经过原点，积分无意义。 情形1 情形2 （原点在圆盘内） 设辅助积分路径 的大小满足包含在圆盘之内）正方向取为顺时针方向。 则： 注：C包含的区域内包含原点不满足Green公式条件 15. 设有连续的二阶导数，且满足其中C为平面第一卦限内任一条闭曲线，已知求。 由已知， 令 　　　（一阶非齐次线性方程） 解得： 由，得 由得 16. 函数二阶连续可导，且，试求的表达式，使微分方程是一个全微分方程。 17. 计算I=其中为立体的边界曲面。 如图示 , :z=1 (,: 上 18. 求球面在柱面内部的表面积。 球面 在xoy面的投影均为 且或上， 由对称性 19. 计算I=,其中为曲线绕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与轴正向的夹角恒大于. 增加辅助曲面，正侧为右侧。 又 = 20. 判断或填空： （1）若对一切的n成立，且级数收敛，则级数也收敛。 （2）若级数发散，则级数也一定发散。 （3）级数收敛，一般项必趋于零。（4）级数的部分和有界，级数一定收敛。 （5）若级数收敛，级数发散