21.6重积分的应用.docVIP

§6 重积分的应用 教学目的 学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． 教学内容 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式． 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． 教学程序 一、曲面的面积 （一）、定义 设为可求面积的平面有界区域，函数在上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程，所确定的曲面的面积. 1．对投影区域作分割，它把分成个小区域，相应地也将曲面分成个小曲面片．在每个上任取一点，作曲面在这点的切平面，并在上取出一小块，使得和在平面上的投影都为． 2．取近似 3．作和式 4．取极限 用和式的极限作为的面积． （二）、 计算公式 1．先计算的面积，因切平面的法向量就是曲面在点处的法向量，记它与轴的夹角为，则 , 因在平面上的投影为，所以 ==． 而和数=是连续函数在有界闭区域上的积分和，故当 时就得到 ==, 或==．其中为曲面的法向量与轴的正向夹角的余弦． 例1 求圆锥在圆柱体内的那一部分的面积． 解 =, 是，，，, =,===． 二、重心 设是密度为的空间物体，在上连续，因的质量为，对平面的静力矩为，由重心坐标的概念有，以分别表示的重心的各个坐标，应有 ，所以 =， 类似地有 =， =， 若为常数，则=，=，=. 对平面薄板的情况，则有 = = 若为常数，则=，=. 例3 求密度均匀的上半椭球体的重心． 解 设椭球体由式，表示 由对称性知==0，由前节的例5的结果，可得 ===. 三、转动惯量 质点对轴的转动惯量是质点的质量和到转动轴的距离的平方的乘积，即. 当讨论空间物体的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体的密度函数为，它对轴的转动惯量为 =， 同样地 =， =， 对平面的转动惯量为 =， 对平面的转动惯量为 =， 对平面的转动惯量为 =， 对原点的转动惯量为 =. 平面薄板时的转动惯量问题也有类似的公式． 例4 求密度均匀的圆环对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量． 解 设圆环为，密度为,则 ， 其中为圆环的质量. 例5 求均匀圆盘对于其直径的转动惯量 解 设圆盘为密度为,则 ， 其中为圆盘的质量. 例6 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量． 解 设球体由式表示，密度函数为，则它对切平面的转动惯量为 ==. 四、引力 求密度为的立体对立体外一质量为1的质点的万有引力． 设的坐标为，中点的坐标用表示。我们用微元法来求对的引力，中质量微元对的引力在坐标轴上的投影为，，， 其中为引力系数，是到的距离。于是力在三个坐标轴上的投影分别为 ，，， 所以 F=. 例7 设球体具有均匀密度，求对球外一点（质量为1）的引力（引力系数为）。 解 设球体由式表示，球外一点的坐标为（）由对称性 = 作业 P259: 1;2;3;4;5;6. 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 1