22不等式证明的基本方法.docVIP

　不等式证明的基本方法知识点一：比较法变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.　　理论依据：　　①；②；③。　　一般步骤：　　第一步：作差；　　第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；　　第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，　　　　　　应根据题目的要求分类讨论.　　第四步：得出结论。　　注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。2、作商比较法　　常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）. 　　理论依据：　　若、，则有①；②；③.　　基本步骤:　　第一步：判定要比较两式子的符号　　第二步：作商　　第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；　　第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.　　第五步：得出结论。　　注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点二：分析法知识点三：综合法知识点四：反证法知识点五：放缩法ac，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。　　注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。规律方法指导1、不等式证明的常用方法：2、反证法的证明步骤：3、放缩法的常用技巧：　　③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；　　　例如：f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)f(x+1)　　④应用基本不等式进行放缩。　　　例如：若，则有；　　　若，则有。　　　这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段 经典例题透析类型一：比较法证明不等式1、用作差比较法证明下列不等式： 　　（1）；　　（2） (a，b均为正数，且a≠b)　　思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。　　证明：　　（1）　　　　 　　　　 当且仅当a=b=c时等号成立，　　　　 （当且仅当a=b=c取等号）.　　（2）　　　　 　　　　 ∵a0, b0, a≠b, 　　　　 ∴a+b0, (a-b)20,　　　　 ∴，　　　　 ∴.　　总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。　　举一反三：　　【变式1】证明下列不等式：　　(1)a2+b2+2≥2(a+b)　　(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)　　(3)a2+b2≥ab+a+b-1　　【答案】　　（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0　　　　 ∴a2+b2+2≥2(a+b)　　（2）证法同（1）　　（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0　　　　 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1　　【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2　　【答案】　　ax2+by2-(ax+by)2　　=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy　　=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy　　=ab(x-y)2≥0　　∴ax2+by2≥(ax+by)2　　2、用作商比较法证明下列不等式： 　　（1） (a，b均为正实数，且a≠b)　　（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）　　证明：　　（1）∵a3+b30, a2b+ab20.　　　　 ∴，　　　　 ∵a, b为不等正数，∴，∴　　　　 ∴　　（2）证明：　　　　 　　　不妨设abc，则　　　　 　　　∴　　　　 　　　所以，　　总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。　　举一反三：　　【变式1】已知a2，b2，求证：a+bab　　【答案】　　∵a2，b2　　∴　　∴　　∴　　【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba　　【答案】　　∵a0, b0, ∴ aabb与abba均为正，　　∴，　　分类讨论可知（分ab0, a=b0, 0ab）　　，当且仅当a=b等号