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3-3导数的实际应用 基础巩固强化1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　　) A.　　　B.　 　C.　　　D．2 [答案]　C [解析]　设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝a2h，h＝，表面积S＝a2＋3ah＝a2＋， 由S′＝a－＝0，得a＝，故选C. (理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为(　　) A.和R　　　　　　B.R和R C.R和R D．以上都不对 [答案]　B [解析]　设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4　(0＜x＜R)， l′＝2－，令l′＝0，解得x＝R. 当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0. 所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R. 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 [答案]　C [解析]　y＝－x3＋81x－234， y′＝－x2＋81(x0)． 令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9， 函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， 当x＝9时，函数取得最大值．故选C. [点评]　利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定． 3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　) A.　　 　B.　　 　C.　 　　D. [答案]　C [解析]　 如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h. 设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋， y′＝4πaR－. 令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，＝. (理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为(　　) A. B. C. D．3π· [答案]　C [解析]　设圆柱底面半径为r，高为h， S＝2πr2＋2πrh，h＝， 又V＝πr2h＝，则V′＝，令V′＝0， 得S＝6πr2，h＝2r，r＝. 4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 [答案]　D [解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝ P′＝ 令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大． 5．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为(　　) A．R B．2R C.R D.R [答案]　C [解析]　设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，r2＝2Rh－h2， V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3， V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R.(理)要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　) A.cm B.cm C.cm D.cm [答案]　D [解析]　设圆锥的高为x，则底面半径为， 其体积为V＝πx(400－x2)　(0＜x＜20)， V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝. 当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0， 所以当x＝时，V取最大值． 6．(2012·保定模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f ′(x)，则满足2f(x)x＋1的x的集合为(　　) A．{x|－1x1} B．{x|x1} C．{x|x－1或x1} D．{x|x1} [答案]　B [解析]　令g(x)＝2f(x)－x－1， f ′(x)，g′(x)＝2f ′(x)－10，g(x)为单调增函数，f(1)＝1，g(1)＝2f(1)－1－1＝0， 当x1时，g(x)0，即2f(x)x＋1，故选B. 7．(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是________． [答案]　3m3 [解析]　设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x　(0x2)，故体积为V＝2x2＝－6x3＋9x2， V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1， 0x2，x＝1. 该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3. (理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为____