5.二次函数的最值问题.docVIP

初高中数学衔接系列教材 第五讲 二次函数的最值问题 【思维导图】 （本节所包含的的相关内容知识体系，由教师授课时手写完成。） 【知识梳理】 一、二次函数基础知识点汇总 1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2.二次函数的性质 (1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴. (2)函数的图像与的符号关系： ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线. 4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中，. 5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①决定抛物线的开口方向： 当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线. ③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,). 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线中，系数的作用 (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故： ①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，): ，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则. 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④；⑤. 图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时,开口向上 当时,开口向下 (轴) (0,0) (轴) (0, ) (,0) (,) () 9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)轴与抛物线得交点为() (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。 (5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故由韦达定理知： 11．二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程就是二次函数当函数的值为0时的情况． 二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根． 当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根 二次函数的应用： 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大值最大值最大值即为顶点横坐标值，最大值 (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值． 自变量取任意实数时的最值情况当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值． 二次函数最大值或最小值的求法． 第一步确定的符号，有最小值，有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 在某一范围内的最值． 如：在（其中）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴； 第二步