6年级奥数-立体图形的计算.docVIP

第讲立体图形的计算 　 表面积公式： 正方体： 长方体： 圆柱体： 体积公式： 正方体： 长方体： 圆柱体： 圆锥体： 在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来． 　　例1下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积． 　　 　　分析与解答 求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁．如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等．因此列式为： 　　（9＋8＋7）×2＝48（平方厘米）． 　　答：它的表面积是48平方厘米． 　　例2一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．  分析 一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了． 解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）． 　　 侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米） 　 　两个底面积（取π＝3.14）： 　　　　表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米） 　　答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米． 　　例3一个正方体形状的木块，棱长为1米．若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？ 　　分析 如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事．如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1＋1＝2平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决． 　　解：原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米）， 　　一共锯了多少次：（次数比分的段数少1） 　　（3－1）＋（4－1）＋（5－1）＝9（次）， 　　表面积： 6＋2×9＝24（平方米）． 　　答：60块长方体表面积的和是24平方米． 　　例4 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 　　 分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）． 　　 　　　　 62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升． 　　答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升． 　　例5 一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？ 　　 分析 按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了． 　　 解：圆锥体化为圆柱体的高： 　　　　底面积： 　　　 体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）． 　　答：粮囤的体积是15.543立方米． 　　例6下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）． 　　分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积． 　　解：正方体体积：63＝216（立方厘米）． 　　　　 ＝56.52（立方厘米）． 　　 剩下体积占正方体的百分之几．（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％． 答：剩下体积占正方体体积的73.8％． 　　例7有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 　 　　分析 解题时，既要注意圆柱体的外