8.6空间向量及其运算(理_作业).docVIP

限时作业41　空间向量及其运算 一、选择题 1.对空间任意一点O,若=++,则A,B,C,P四点(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.与O点的位置有关 2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则(　　). A.x=1,y=1 B.x=,y=- C.x=,y=- D.x=-,y= 3.已知空间四边形ABCD中,M,G分别为BC,CD的中点,则+(+)等于(　　). A. B. C. D. 4.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值为(　　). A.19 B.- C. D. 5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于(　　). A.2 B.-2 C.-2或 D.2或- 6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在上且=,N为B1B的中点,则||为(　　). A.a B.a C.a D.a 二、填空题 7.如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=λ(+),则λ=　　　　　.? 8.设向量a=(-1,3,2),b=(4,-6,2),c=(-3,12,t),若c=ma+nb,则t=　　　　　,m+n=　　　　　.? 9.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为　　　　　.? 三、解答题 10.已知向量b与向量a=(2,-1,2)共线,且满足a·b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量b及k的值. 11.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是,点D在平面yOz内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°. (1)求的坐标; (2)设和的夹角为θ,求cos θ的值. 12.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P-BD-A的大小. 　　一、选择题 1.B　2.C　3.A　4.C　5.C 6.A　解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N. 设M(x,y,z). ∵点M在上且=. ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z), ∴x=a,y=,z=. 于是M. ∴|| = =a. 二、填空题 7.　8.11　 9.　解析:以A为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2), 则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),||=,||=, ·=1, cos,==, 故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为. 三、解答题 10.解:∵a,b共线,∴存在实数λ,使b=λa, ∴a·b=λa2=λ|a|2 =λ(22+1+22)=18, 解得λ=2.∴b=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b), ∴(ka+b)·(ka-b)=0. ∴(ka+2a)·(ka-2a)=0. ∴(k2-4)|a|2=0.∴k=±2. 11.解:(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=. ∴DE=CDsin 30°=. OE=OB-BDcos 60°=1-=. ∴D点坐标为, 即的坐标为. (2)依题意,=,=(0,-1,0),=(0,1,0), ∴=-=,=-=(0,2,0). 由和的夹角为θ, 得cos θ== =-.∴cos θ=-. 12.(1)证明:如图,建立坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3), ∴=(0,0,3),=(2,6,0),=(-2,2,0). ∴·=0,·=0. ∴BD⊥AP,BD⊥AC. 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. (2)解:设平面ABD的法向量为m=(0,0,1), 设平面PBD的法向量为n=(x,y,z), 则n·=0,n·=0. ∵=(-2,0,3), ∴解得 令x=,则n=(,3,2), ∴cos m,n==. ∴二面角P-BD-A的大小为60°. 6