9.5空间向量及其运算(一).docVIP

9.5空间向量及其运算(一) 教学目的：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题.. 教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律. 教学难点：用向量解决立几问题. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析 本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量.由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题. 本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量.学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难.但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律.这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念. 当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量.把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间.然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式.有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题. 在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础.有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定.空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系.本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积.由平面两个向量的数量积推广到空间.最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念.为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明.学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明. 教学过程： 一、复习引入： 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法，；坐标表示法. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜｜. (4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0. 单位向量为单位向量｜｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作∥.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量. 2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向 量 的 减 法 三角形法则 向 量 的 乘 法 1.是一个向量,满足: 2.0时,与同向; 0时,与异向; =0时,=0. ∥ 向 量 的 数 量 积 是一个数 1.或时, =0 2.且时, 3.重要定理、公式： (1)平面向量基本定理 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使 (2)两个向量平行的充要条件:∥＝λ. (3)两个向量垂直的充要条件:⊥·＝O. (4)线段的定比分点公式 设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则＝＋(线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或 (5)平移公式 设点按向量平移后得到点，则＝+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为： (6)正、余弦定理 正弦定理： 余弦定理： . 二、讲解新课： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量. ⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 3．平行六面体： 平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－.它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱. 三、讲解范例： 例1.已知平行六面体ABCD－化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ⑴；⑵； ⑶；⑷. 解：如图： ⑴； ⑵=； ⑶设M是线段的中点，则； ⑷设G是线段的三等份点，则. 向量如图所示: 例2已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结