92.1.2空间中直线与直线之间的位置关系.docVIP

2．1.2　空间中直线与直线之间的位置关系 立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体． 问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？ 提示：平行或相交． 问题2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？ 提示：不共面，即不相交也不平行． 问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？ 提示：是． 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法 2．空间两条直线的位置关系 位置关系 特　点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 1．在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行． 问题1：在空间中，是否也有类似规律？ 提示：是． 问题2：能否利用某一空间几何体举出符合这一规律的例子？ 提示：可以，例如教室墙面与墙面的交线之间． 2．观察下图中的AOB与A′O′B′. 问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行． 问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等． 1．平行公理(公理4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． (2)符号表述：a∥c. 2．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′a，b′b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜α≤90°. (3)当θ＝时，a与b互相垂直，记作ab. 1．对于异面直线的定义的理解 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线． 2．对平行公理与等角定理的理解 公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补． [例1]　如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： 直线A1B与直线D1C的位置关系是________； 直线A1B与直线B1C的位置关系是________； 直线D1D与直线D1C的位置关系是________； 直线AB与直线B1C的位置关系是________. [思路点拨]　利用直线异面、平行、相交这三种不同关系的判断方法，结合正方体图形特点直观判断． [精解详析]　直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以应该填“异面”． [答案]　平行　异面　相交　异面 [一点通]　判定两条直线的位置关系时．若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义和方法处理．判定异面直线的方法往往用定义和反证法．借助几何模型判定两直线的位置关系，也是常用的一种方法，更直观． 1．不平行的两条直线的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　B．异面 C．平行 D．相交或异面 解析：若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面． 答案：D 2．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，与AA1异面的是(　　) A．AB B．BB1 C．DD1 D．B1C1 解析：由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1. 答案：D 3．已知直线AB、CD是异面直线，求证：直线AC、BD是异面直线． 证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α(如图)． AC?α，BDα， A、B、C、D四点都在α内， AB?α，CDα， 这与已知中AB和CD是异面直线矛盾，故假设不成立． 直线AC和BD是异面直线