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三角形的推理与计算问题 【】 一、等腰三角形 、等腰三角形的性质： ⑴等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 ⑵等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 、等腰三角形的判定： ⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ⑵有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都 都等于 ⑵等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴 等边三角形的判定： ⑴有三个角相等的三角形是等边三角形 ⑵有一个角是 度的 三角形是等边三角形 二、线段的垂直平分线角的平分线 线段的垂直平分线、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等 、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 角的平分线： 1、性质：角平分线上的点到 得距离相等 2、判定：到角两边距离相等的 三、直角三角形： 1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形 2、直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于 ）在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对 边是 边的一半 ? 考点　全等三角形的证明 例　（2013菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC． ①求证：△ABE≌△CBD； ②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数． ：全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质直角三角形两锐角互余 ②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可； (2013年湖北荆门)如图4-2-43(1)，在ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． (1)求证：BE＝CE； (2)若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，如图4-2-43(2)，BAC＝45°，原题设其他条件不变．求证：AEF≌△BCF. 　　　(2013年辽宁沈阳)如图4-2-46，在ABC中，AB＝BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF. (1)求证：BF＝2AE; (2)若CD＝，求AD的长． 答案（2）2＋. ? 考点　等腰三角形 例　已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图S1－4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形； (2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． （2012?十堰）如图，O是△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． (2013菏泽)如图，一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰RtABC，BAC＝90°，求过B，C两点直线的解析式． ? 考点　角平分线与“截长补短” 例　 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD. 、如图，AP∥BC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D，求证：(1)AB=AD+BC(2)若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积? 角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用．而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助． ?考点四 线段垂直平分线 4（2012泰安8分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G