高三C专题(数列综合(2013年一模数列压轴二)4星2.docVIP

专题：数列综合（★★★★） 等差数列 等比数列 定义 通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d 求和公式 中项公式 A= 推广：2= 。推广： 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。 2 若成等差数列（其中）则也为等差数列。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。 3 成等差数列。 成等比数列。 4 ， 例1.（★★★★）（2013年上海嘉定区一模22）（本题满分16分）（文）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 设等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）写出一个正整数，使得是数列的项； （3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数和（），使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．（1）设数列的首项为，公差为，由已知，有 ，……（2分） 解得，，…………（3分） 所以的通项公式为（）．…………（4分） （2）当时，，所以．……（1分） 由，得，两式相减，得，故，……（2分） 所以，是首项为，公比为的等比数列，所以．……（3分） ，…………（4分） 要使是中的项，只要即可，可取．…………（6分） （只要写出一个的值就给分，写出，，也给分） （3）由（1）知，，…………（1分） 要使，，成等差数列，必须，即，…………（2分） 化简得．…………（3分） 因为与都是正整数，所以只能取，，．…………（4分） 当时，；当时，；当时，．…………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为： ，，．…………（6分）（2013年上海嘉定区一模22）（本题满分16分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，． （1）求、的值； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意，得，……（2分） 即 ，解得 ．…………（4分） （2）由（1）知， ① 当时， ② …………（1分） ①－②，得（），又，…………（3分） 所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………（4分） 所以的通项公式为（）．…………（6分） （3）由（2），得，…………（1分） 由，得，即， 即．因为，所以， 所以且， （*） 因为，所以或或．……………………（2分） 当时，由（*）得，所以； …………（3分） 当时，由（*）得，所以或； …………（4分） 当时，由（*）得，所以或或． …………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为： ，，，，，． …………（6分） （2013年上海金山区一模23）（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列满足，（其中且，）． 为数列的前项和． (1) 若，求的值； (2) 求数列的通项公式； (3) 当时，数列中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，说明理由． 解：(1) 令，得到，令，得到。…………2分 由，计算得．……………………………………………………4分 (2) 由题意，可得： ，所以有[来源:学|科|网Z|X|X|K] ，又，……………………5分 得到：，故数列从第二项起是等比数列。……………7分 又因为，所以n≥2时，……………………………8分 所以数列{an}的通项…………………………………10分 (3) 因为 所以……………………………………11分 假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列， ①不防设mkp≥2，因为当n≥2时，数列{an}单调递增，所以2ak=am+ap 即：2(()(4k–2 = (4m–2 + (4p–2，化简得：2(4k - p = 4m–p+1 即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1， 故有：m=p=k，和题设矛盾………………………………………………………………14分 ②假设存在成等差数列的三项中包含a1时， 不妨设m=1，kp≥2且akap，所以2ap = a1+ak ， 2(()(4p–2 = – + ()(4k–2，所以2(4p–2= –2+4k–2，即22p–4 = 22k–5 – 1 因为k p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………………………………………16分 因此，数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列……………………………18分 （2013年上海松江区一模22