孙会元固体物理基础第三能带论布洛赫定理及能带.ppt

第一节 布洛赫定理、布洛赫波及能带 一、 布洛赫定理及证明 三、 能带的图示 二、 布洛赫波能谱特征 本节主要内容: 四、 能带的对称性 五、 等能面垂直于布里渊区界面 一、 布洛赫定理及证明 1. 布洛赫定理(Bloch theorem) 对于周期性势场,即 其中 取布拉维格子的所有格矢,单电子薛定谔方程(波动方程): 的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波,即: 且 且对 取布拉维格子的所有格矢成立。 这就是布洛赫定理 显然,按照该定理： 具有上述形式的波函数称为布洛赫波函数。 且 因此,布洛赫定理也可以表述为: 在以布拉维格子原胞为周期的势场中运动的电子，当平移晶格矢量Rn时，单电子态波函数只增加一个相位因子 , 亦即满足 对属于布拉维格子的所有格矢 成立。 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子,或用布洛赫波函数描述的电子称为布洛赫电子(Bloch electron),相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波. 与自由电子相比,晶体周期势场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波.显然,它是一个无衰减的在晶体中传播的波,不再受到晶格势场的散射.因此可以认为布洛赫电子在整个晶体中自由运动,布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动,而周期函数的因子描述电子在原胞中运动,这取决于原胞中电子的势场. 2. 布洛赫定理的证明 (1)引入平移对称算符 (2)说明: 对属于布拉维格子的所有格矢 ,只要证得 即可。 (3) 证明思路 对易的算符有共同的本征函数 (1)引入平移对称算符 平移对称算符的定义： 平移对称算符的性质： 即平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易 (2)说明: 所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。 因为： 晶体中单电子哈密顿量 具有晶格周期性。 推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量改变一常矢量不影响微分结果。即： 由于对易的算符有共同的本征函数,所以如果波函数 是 的本征函数,那么 也一定是算符 的本征函数。 利用对易性，则有: （3）平移算符的本征值 设 对应的本征值为 ，波函数 是 和 共同的本征函数。则有 所以波函数 和 或 是哈密顿算符的同一能量本征值的本征函数，它们只能相差一个常数。 根据波函数的归一性： 但是： 所以只能有： 从而 可以写成如下形式 ： 另外，根据平移算符的性质： 从 可以看出， 仅差一个相位因子。 将 代入 中得： 两边取对数得： 上式仅当 之间呈线性关系才能得到满足，所以，可取： 所以平移算符的本征值为： 所以： ---布洛赫定理得证。 可以看出平面波 能满足上式： 因此矢量 具有波矢的意义 当波矢增加一个倒格矢 ,平面波 也满足上式。 因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加。 则上式化为 所以,线性叠加后的平面波是布洛赫波函数,可以描述晶体电子. 说明： 在第一章描述的自由电子情形,由于波函数： 所以,对自由电子情形,动量算符有确定的本征值,代表电子的动量。 但是,对于布洛赫电子,由于布洛赫波函数： 所以,布洛赫波函数不再是动量算符的本征函数, 不再代表布洛赫电子的动量。 一般把 称为晶体动量(crystal momentum),而把 理解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态的量子数,其取值由边界条件来确定. 设晶体在三个基矢a1、a2、a3方向各有N1、N2、N3个原胞，与第一章类似，我们选取周期性边界条件(平移对称性的要求) 则波函数应满足： 即： 其中 为布拉维格子的三个基矢； 为晶体沿 方向的原胞数目, 的量级为 的整数；原胞总数 3. 波矢k 的取值 注：周期性边条件去掉了表面对平移对称性的破坏，使有限大的晶体具有了完全的平移对称性，也是数学处理上最简便的边条件 将布洛赫定理用于周期性边条件： 为整数 前面我们已知，波矢 空间为倒格子空间，因而，波矢 可用相应的倒格子基矢 表示，即： 将其代入 并考虑到： 只能取一些分立的值。 得波矢 ： 为整数 布洛赫波波矢 可看成是在倒格子空间中,以 为基矢的布拉维格子的格矢， 取值是量子化的,在 空间均匀分布，每个许可的 值，相当于上述布拉维格