高中数学专题教案：曲线的轨迹方程的求法.doc

曲线的轨迹方程的求法 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 典型题例示范讲解 例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程 错解分析 欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 解 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 例2设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系 错解分析 当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论 技巧与方法 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系 解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直线AB的方程为x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa, x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得 则OB的方程为，代入y2=4px得 ∴AB的方程为，过定点， 由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外） 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为， 代入y2=4px得 则OB的方程为，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得 M既在以OA为直径的圆 ……①上， 又在以OB为直径的圆 ……②上（O点除外）， ①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 例3某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？ 命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力 知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点 错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键 技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程 解 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切 建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=(1+r)+(1