Z椭圆知识精讲.docVIP

（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于| F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A2， B1， B2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a b 0 ，。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c）和（0，c）。椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下： 几点说明： （1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。 （2）对于离心率e，因为ac0，所以0e1，离心率反映了椭圆的扁平程度。 由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。 （3）观察下图，，所以，所以椭圆的离心率e = cos∠OF2B2 （三）直线与椭圆： 直线：（、不同时为0） 椭圆： 那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下 ， （1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为， 可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。 ［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）（4，0）（40）P到两焦点的距离的和等于10； （2）（02）（02）（，） （3）A（2）B（2，1） a、b即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。 解析：（1）x轴上，所以设它的标准方程为＝1（ab＞0） 2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4 ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9 所以所求的椭圆的标准方程为＝1 （2）y轴上，所以设它的标准方程为＝1（ab＞0） 2a＝ 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6 所以所求的椭圆的标准方程为＝1 （3）x轴上，设所求椭圆方程为＝1（ab＞0） A（2）B（2，1） 解之得 若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＝1（ab＞0），不合题意，舍去。 故所求的椭圆方程为＝1 解法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m0，n＞0且m≠n） 由A（2）B（2，1） 即，解得 故所求的椭圆方程为＝1 点评：（1）a、b。 （2）（3）mx2＋ny2＝1（m0，n＞0） ［例2］已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。 解析：如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B、Ｃ，原点Ｏ与BC的中点重合。 由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c＝6，2a＝10， ∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16。 由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A、B、C三点不