2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科数学.docVIP

2013年普通高等学校统一考试（江苏卷）数学试题 卷Ⅰ 必做题部分 一．填空题。 1．函数的最小正周期为 。 2．设（为虚数单位），则复数的模为 。 3．双曲线的两条渐近线的方程为 。 4．集合共有 个子集。 5．下图是一个算法的流程图，则输出的的值是 。 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。 7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 。 8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 。 9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部与边界）。若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 。 10．设分别是的边上的点，，，若 （为实数），则的值为 。 11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为 。 12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 。 13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。 14．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数 的值为 。 二．解答题： 15．本小题满分14分。已知，。 （1）若，求证：；（2）设，若，求的值。 16．本小题满分14分。 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点. 求证：（1）平面平面； （2）. 17．本小题满分14分。如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上。 （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。 18．本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲．乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。 （1）求索道的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19．本小题满分16分。设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。 （1）若，且成等比数列，证明：（）； （2）若是等差数列，证明：。 20．本小题满分16分。 设函数，，其中为实数。 （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围； （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。 卷Ⅱ 附加题部分答案word版 ［选做题］第21题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．A.［选修4-1：几何证明选讲］本小题满分10分。 如图，和分别与圆相切于点，经过圆心，且 求证： 21．B.［选修4-2：矩阵与变换］本小题满分10分。 已知矩阵，求矩阵。 21.C.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题满分10分。 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），曲线C的参数方程为 （为参数），试求直线与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 21．D.［选修4-5：不定式选讲］本小题满分10分。 已知＞0，求证： ［必做题］第22、23题，每题10分，共20分。请在相应的答题区域内作答，若多做，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22．本小题满分10分。 如图，在直三棱柱中，,,,点是的中点 （1）求异面直线与所成角的余弦值 （2）求平面与所成二面角的正弦值。 23．本小题满分10分。 设数列，即当时，，记，对于，定义集合 （1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数。 参考答案 一、1．2．3．4．5．6．7．． 8．9．10．11．12．13． 14．15． ∴ 即， 又∵，∴∴∴ （2）∵ ∴即 两边分别平方再相加得： ∴ ∴ ∵ ∴ 16．，∴F分别是SB的中点 ∵E．F分别是SA．SB的中点 ∴EF∥AB