线性代数重要习题总结报告.doc

，，，， (1) 试求向量组的秩； (2) 试求该向量组的一个极大无关组； (3) 不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示。 解： (1) 向量组的秩， 一个极大无关组， 不属于极大无关组的向量，， （本题12分） 已知非齐次方程组Ax=b (1)求与之对应的齐次方程组Ax=0的基础解系； (2)求非齐次方程组Ax=b的通解。 (1)齐次方程组Ax=0的基础解系；， (2)非齐次方程组Ax=b的通解。 设向量组 ，，， (1) p为何值时，该向量组线性无关； (2) p为何值时，该向量组线性相关，试求向量组的秩，一个极大无关组，不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示。 (1) 时，该向量组线性无关 (2) 时，该向量组线性相关， 向量组的秩， 一个极大无关组， 不属于极大无关组的向量、 设矩阵～，若，则取值应满足。 若非齐次线性方程组无解，则。 设维向量组可以线性表示维单位坐标向量组 的充分必要条件是向量组线性。 设是齐次线性方程组的基础解系, 则。 若阶方阵满足，为阶单位阵，则下列结论错误的是（ ）。 （A）可逆；(B) 可逆；(C) 可逆； (D) 可逆 阶方阵矩阵经过初等变换后，（ ）可能改变。 (A) 矩阵的秩； (B) 矩阵的行列式； (C) 矩阵的可逆性； (D) 矩阵的列向量组的秩。 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（ ）。 (A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关； (C) 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关。 ，，，线性 关。 齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_________。 若齐次线性方程组，有非零解则 。 3. 设是四维向量，则( ) 。 A、一定线性无关一定线性相关一定可以由线性表一定可以由线性表 4. 设是阶方阵，若对任意的维向量均满足，则( ) A、; B、; C． D、。 6．向量组的秩满足，，则 。 7. 若向量组是方程的一个基础解系，则 （是，否）可由线性表示。 若非齐次线性方程组，有唯一解，则满足 。 3．下列命题中错误的是（　　　）。 A、只含有一个零向量的向量组线性相关 B、由3个2维向量组成的向量组线性相关 C、由一个非零向量组成的向量组线性相关 D、两个成比例的向量组成的向量组线性相关 设向量，经过施密特正交化后化为， 。 为3阶方阵，特征值为1、2、3，则= 。 5．若是3阶正交矩阵，，则下列叙述错误的是（ ）。 A、是正交阵 B、 C、是正交阵 D、 设=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于 。 方阵的一个特征值为 -2，则 一定是的一个特征值。 3阶方阵的特征值为 -2,2,3，则 = 5．为阶方阵，下列说法错误的是( )。 A、与具有相同的特征值；B、与具有相同的特征多项式； C、与对应于同一特征值具有相同的特征向量； D、方程的每一个非零向量都是对应于特征值的特征向量。 设=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于 。 设二次型为 (1)写出二次型对应的对称矩阵； (2)求的特征值与特征向量； (3)求一个正交矩阵，通过正交变换将二次型化为标准型。 设矩阵为 (1)求A的特征值与特征向量 (2)求一个正交矩阵P，使。 解： (1) ， 时，， 时，， 时，， （2）， 设二次型为 (1)写出二次型对应的对称矩阵； (2)求的特征值与特征向量； (3)求一个正交矩阵，通过正交变换将二次型化为标准型。 设矩阵为 (1)求A的特征值与特征向量 (2)求一个正交矩阵，使。 (2) 时，，， 时，， ，， 设二次型为 (1)写出二次型对应的对称矩阵A； (2)求A的特征值与特征向量 (3)求一个正交矩阵P，将二次型化为标准型。 设A是3阶方阵，是A的3个不同的特征值，对应特征向量，令，证明：，，线性无关 已知向量组线性无关，证明向量组，， 线性无关。 设是维非零向量，，为使的任意常数。以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。 (1)若与正交，且与也正交，则与正交； (2)若与线性无关，且与也线性无关，则